2025年山西省忻州一中数学高一下期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年山西省忻州一中数学高一下期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
2．已知点，和向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4．已知是偶函数，且时.若时，的最大值为，最小值为，则（）
A．2 B．1 C．3 D．
5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：
（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；
（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。
若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）
A．80% B．85% C．90% D．92%
9．过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知的三边分别是，且面积，则角__________.
12．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.
13．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．
14．终边在轴上的角的集合是_____________________．
15．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．
16．函数在的值域是__________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在如图所示的直角梯形中，，求该梯形绕上底边所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.

18．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：
单价（元）
18
19
20
21
22
销量（册）
61
56
50
48
45
（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：
（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：，，，.
19．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
20．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
21．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；
（3）已知，，试计算．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.
【详解】
如图所示：

在正方体中，，
所以直线所成角，
由正方体的性质，知，
所以.
故选：C
本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.
2、B
【解析】
先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.
【详解】
由题得，
因为，
所以.
故选：B
本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】
通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.
【详解】
由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数
解析式中，得
，
所以，而，显然由
向右平移个单位长度得到
的图象，故本题选C.
本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.
4、B
【解析】
根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.
【详解】
因为函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，故得到时，的最大值和最小值，与时的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；
根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为，，故最大值为，此时
故答案为：B.
这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题。对于函数的奇偶性，主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使得问题简化.
5、C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
6、D
【解析】
由已知中直线和互相平行，求出的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【详解】
∵直线和互相平行，则，
将直线的方程化为，
则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.
故选：D．
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
7、B
【解析】
三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.
【详解】
由题意，易知三棱锥是正三棱锥，

取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.
因为，所以.
因为，所以.
设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.
故选B.
本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
8、A

【解析】
先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．
【详解】
解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为
那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个
共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，
不喜欢数学课的学生有：，
喜欢数学课的有80个，
估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9、C
解析】
分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.
【详解】
如图所示：
当斜率不存在时：
当斜率存在时：设

故答案选C
本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.
10、A
【解析】
先化简集合，根据交集与并集的概念，即可得出结果。
【详解】
因为，，
所以，.
故选A
本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：由，可得，整理得，即，所以.
考点：余弦定理；三角形的面积公式.
12、7500
【解析】
讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.
【详解】
当是奇数时，＝﹣1，由，得，
所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，
当为偶数时，＝1，由，得，
所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，
则 ，
所以.
故答案为：7500
本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．
13、；
【解析】
由题意得，验证满足条件，所以
14、
【解析】
由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为
而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为，
终边在轴上的角的集合是，
所以，故答案为.
15、
【解析】
中，由余弦定理可得，∵ ，∴ ，化简可得 ．∵，∴，解得 （当且仅当 时，取等号）．故 ．再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故的周长的取值范围是，故答案为．
点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得△ABC的周长的取值范围．
16、
【解析】
利用反三角函数的性质及，可得答案.
【详解】
解：，且，，
∴，
故答案为：
本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、表面积为，体积为．
【解析】
直角梯形绕它的上底（较短的底）所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，由此可计算表面积和体积．
【详解】
如图直角梯形绕上底边所在直线旋转一周所形成几何体是以为母线的圆柱挖去以为母线的圆锥．
由题意，
∴，
．
本题考查旋转体的表面积和体积，解题关键是确定该旋转体是由哪些基本几何体组合成的．
18、 (1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润
【解析】
（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到
（2）计算利润为：计算最大值.
【详解】
解：（1），
，
，

所以对的回归直线方程为：．
（2）设获得的利润为，
，
因为二次函数的开口向下，
所以当时，取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．
本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】
解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
20、（1）；（2）1
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为1．
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
21、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据不等式可得，把代入即可解出
（2）根据化简，利用为有理数即可解决
（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，以上每一步可逆．
（3），∴．
∵，∴，
当时，∴
当时，∴，∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，
∴
当时，∴
当时，∴，
∴．
本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．