山西省临汾市2025届高一下数学期末联考试题含解析.doc

山西省临汾市2025届高一下数学期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的终边经过点，则=（ ）
A． B． C． D．
2．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
3．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.
D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移.
6．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知点、、在圆上运动，且，若点的坐标为，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，向量，则向量( )
A． B． C． D．
10．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列的前项和为，若，则=_______
12．已知点P是矩形ABCD边上的一动点，，，则的取值范围是________.
13．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎.已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织.为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制只“七中熊”时，需另投入成本，（元），.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完.若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为______只时，学生会向公益组织所捐献的金额会最大.
14．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，
其中至少有1名女生当选的概率是______
15．已知四面体的四个顶点均在球 的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____
16．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
18．解下列方程
（1）；
（2）；
19．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）要使矩形的面积大于64平方米，则的长应在什么范围内？
（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
20．在△中，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．
21．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.

（1）若，求AM的长度；
（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；
（3）求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
2、C
【解析】
两圆外切时，有三条公切线．
【详解】
圆标准方程为，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴，．
故选C．
本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．
3、A
【解析】
设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.
【详解】
由题意，圆的圆心坐标，
设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，
满足，解得，
即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，
所以所求圆的方程为，故选A.
本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4、B
【解析】
首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.
【详解】
由函数，
所以，解得，
当时，
故函数图象的对称中心的是.
故选：B
本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.
5、B
【解析】
利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.
【详解】
为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，
横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，
再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.
故选：B．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．
6、C
【解析】
试题分析： 设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.
考点：1.古典概型；
7、C
【解析】
由题意可知为圆的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），然后利用平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质可得出的最大值.
【详解】
如下图所示：

，为圆的一条直径，
由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），
由平面向量模的三角不等式可得，
当且仅当点的坐标为时，等号成立，
因此，的最大值为.
故选：C.
本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8、C
【解析】
由正弦定理边角互化思想得，由可得出的三边长，可判断出三角形的形状，由此可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出的值.
【详解】
，，
，，，，为等腰直角三角形，.
因此，，故选C.
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.
9、A
【解析】
由向量减法法则计算．
【详解】
．
故选A．
本题考查向量的减法法则，属于基础题．
10、B
【解析】
∵等差数列，，，成等比数列，∴，
∴，∴，，故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．
【详解】
等差数列的前项和为，因为，所以；
又，所以．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．
12、
【解析】
如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
，根据几何意义得到最值，
【详解】
如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
则.
表示的几何意义为到点的距离的平方减去.
根据图像知：当为或的中点时，有最小值为；
当与中的一点时有最大值为.
故答案为：.

本题考查了向量的数量积的范围，转化为几何意义是解题关键.
13、200
【解析】
由题意求得学生会向公益组织所捐献的金额的函数解析式，再由对勾函数的性质求得取最大值时的值即可.
【详解】
由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为，
，
由对勾函数的性质知，在时取得最小值，
所以时，取得最大值.
故答案为：200
本题主要考查利用函数解决实际问题和对勾函数的性质，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，
从4个男生中选2人共有C42=6种选法
∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．
考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．
点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
15、2
【解析】
为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.
【详解】
如图所示，四面体内接于球，
为球的直径，，
，，过作于，
，
点在以为圆心，为半径的小圆上运动，
当面面时，四面体的体积达到最大，
.

立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.
16、
【解析】
先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.
【详解】
因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是
本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）
【解析】
（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；
（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；
（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.
【详解】
(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：
，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：
，共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.
18、（1）或；（2）；
【解析】
（1）由，得，解方程即可.
（2）由已知得到，解得即可.
【详解】
（1），
，
或，
或.
（2），
，解得.
本题考查了指数型、对数型方程，考查了指数、对数的运算，属于基础题.
19、（1），（2）时，
【解析】
（1）设，有题知，得到，再计算矩形的面积，解不等式即可.
（2）首先将花坛的面积化简为，再利用基本不等式的性质即可求出面积的最小值.
【详解】
（1）设，.
因为四边形为矩形，所以.
即：，解得：.
所以，.
所以，，
解得或.
因为，所以或.
所以的长度范围是.
（2）因为
.
当且仅当，即时取“”.
所以当时，.
本题第一问考查了函数模型，第二问考查了基本不等式，属于中档题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．
【详解】
（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，
所以．
（Ⅱ）由余弦定理 ．
因为三角形内角，所以．
此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．
21、（1）；（2），当时，；（3）.
【解析】
（1），，，由即可得解；
（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；
（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.
【详解】
（1）由题意可知:，即，
，所以；
（2），，，，
，，
，时，取得最大值1，；
（3），
由题意可知，令，
.
本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.