2025届江苏省赣榆高级中学高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届江苏省赣榆高级中学高一下数学期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之和是的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则与夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．1
5．定义运算，设，若，，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．设向量 ＝（2，4）与向量 ＝（x，6）共线，则实数x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
9．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
10．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人
12．设为，的反函数，则的值域为______.
13．数列满足：，，的前项和记为，若，则实数的取值范围是________
14．若角的终边经过点，则的值为_______
15．382与1337的最大公约数是__________.
16．己知是等差数列，是其前项和，，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.
18．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求．
19．数列中，，，数列满足.
（1）求数列中的前四项；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，试判断数列是否有最小项，若有最小项，求出最小项.
20．已知数列满足关系式，.
（1）用表示，，；
（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.
21．已知中，角的对边分别为．
（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；
（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
利用基本不等式可得，然后解出即可．
【详解】
解：正数，满足，
∴，
，，
当且仅当时取等号，
的最小值为9，
故选：A．
本题主要考查基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于基础题．
2、C
【解析】
由题意可知，基本事件总数为，然后列举出事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
同时抛掷两个骰子，共有个基本事件，
事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是”所包含的基本事件有：、、、、共个基本事件.
因此，所求事件的概率为.
故选：C.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】
设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r
则2r+2r＝8，r=2，
∴扇形的面积为r=
故选A
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
4、A
【解析】
根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由向量，
则与夹角的余弦值为,故选A.
本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
由题意，
由于与都是周期函数，且最小正周期都是，
故只须在一个周期上考虑函数的值域即可，
分别画出与的图象，如图所示，
观察图象可得：的值域为，故选C.

6、B
【解析】
由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B
考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
7、C
【解析】

如图，取中点，则平面，
故，因此与平面所成角即为，
设，则，，
即，
故，故选C.
8、C
【解析】
利用的单调性直接判断即可。
【详解】
因为在上递增，
又，所以成立。
故选：C
本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。
9、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
10、B
【解析】
过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．
【详解】
过点作于点，过点作于点，
如图所示，在中，由正弦定理得，，
即，
，在中，，
又山高为，则灯塔的高度是
．
故选．

本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、16
【解析】
利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．
【详解】
由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，
通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．
故答案为16
本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12、
【解析】
求出原函数的值域可得出其反函数的定义域，取交集可得出函数的定义域，再由函数的单调性可求出该函数的值域.
【详解】
函数在上为增函数，则函数的值域为，
所以，函数的定义域为.
函数的定义域为，
由于函数与函数单调性相同，可知，函数在上为增函数.
当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查函数值域的求解，考查函数单调性的应用，明确两个互为反函数的两个函数具有相同的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13、
【解析】
因为数列有极限,故考虑的情况.又数列分两组,故分组求和求极限即可.
【详解】
因为,故,
且
,故,又,
即.
综上有.
故答案为：
本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.
14、.
【解析】
根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，，
故答案为.
本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.
15、191
【解析】
利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.
【详解】
因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.
本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.
16、-1
【解析】
由等差数列的结合，代入计算即可.
【详解】
己知是等差数列，是其前项和，所以，
得，由等差中项得，所以.
故答案为-1
本题考查了等差数列前项和公式和等差中项的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为
【解析】
（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为，
所以

因为在处取得最大值.
所以，即
当时的最小值为1
此时，
（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数
在区间上的图象为：

方程有两个不相等的实数根等价于的图象
与直线有两个交点
所以，解得
（3）设，
因为点，且满足
所以，所以
因为点为函数图像上的一点
所以
即
因为，所以
所以
所以
所以原不等式的解集为
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．
【详解】
（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，
又．
可得，
∴sinBcosBsinB，
则．
又∵B∈（0，π），可得．
（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，
解得．
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1），，，；（2见解析；（3）有最小项，最小项是.
【解析】
（1）由数列的递推公式，可计算出数列的前四项，代入，即可计算出数列中的前四项；
（2）利用数列的递推公式计算出为常数，结合等差数列的定义可证明出数列是等差数列；
（3）求出数列的通项公式，可求出，进而得出，利用作商法判断数列的单调性，从而可求出数列的最小项.
【详解】
（1）且，
，，.
，，，
，；
（2），而，
，.
因此，数列是首项为，公差为的等差数列；
（3）由（2）得，则.
，显然，
，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当且时，，即.
，，
所以，数列有最小项，最小项是.
本题考查利用数列的递推公式写出前若干项，同时也考查了等差数列的证明以及数列最小项的求解，涉及数列单调性的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20、（1），，（2）猜想：，证明见解析
【解析】
（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明
【详解】
解：（1），∴，，；
（2）猜想：.
证明：当时，结论显然成立；
假设时结论成立，即，
则时，，即时结论成立.
综上，对时结论成立.
本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由成等差数列，且公差为，可得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径．根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.
【详解】
（1）依次成等差数列，且公差为
，
，由余弦定理得：

整理得：，解得：或
又，则

（2）设，外接圆的半径为，则，解得：
由正弦定理可得：

可得：，，
的周长

又
当，即：时，取得最大值
本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．