山东、湖北省部分重点中学2025年高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

山东、湖北省部分重点中学2025年高一数学第二学期期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．设m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．若，则下列不等式不成立的是( )
A． B． C． D．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面
D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
6．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则实数r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，已知点，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
8．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是　　
A． B． C． D．
9．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
10．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系中，定义两点之间的直角距离为：现有以下命题：
①若是轴上的两点，则；
②已知，则为定值；
③原点与直线上任意一点之间的直角距离的最小值为；
④若表示两点间的距离，那么.
其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
12．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.
13．方程的解集是__________.
14．将边长为1的正方形中，把沿对角线AC折起到，使平面⊥平面ABC，则三棱锥的体积为________.
15．在中，角所对的对边分别为，若，，，则的面积等于_____
16．已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在数列中，，.
（1）分别计算，，的值；
（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
18．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：
（1）垂直；
（2）平行，并求出两平行线间的距离．
19．如图，中，，角 的平分线长为1．

(1)求；
(2)求边的长．
20．已知函数，其中．
解关于x的不等式；
求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．
21．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（αβ）=，求cosβ的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据等差数列性质得到答案.
【详解】
等差数列中，若，

本题考查了等差数列的性质，属于简单题.
2、D
【解析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.
【详解】
设两个向量的夹角为，则，故.
故选：D.
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.
3、D
【解析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】
选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
选项D正确，由，便得，又，，即.
故选：D.
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，
属于基础题.
4、A
【解析】
由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.
【详解】
由题得a＜b＜0，
对于选项A,=，所以选项A错误.
对于选项B,显然正确.
对于选项C,所以，所以选项C正确.
对于选项D,，所以选项D正确.
故答案为A
(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
5、D
【解析】
根据旋转体的定义与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．
【详解】
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；
B．∵同一个圆锥的母线长相等，∴圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，正确；
C．根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确；
D．直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，因此D不正确．
故选：D．
本题考查了命题的真假判断，解题的关键是理解旋转体的定义与性质的应用问题，属于基础题．
6、B
【解析】
因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则43)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
7、B
【解析】
求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d，再求出，代入即可得解.
【详解】
，即，
点到直线的距离，
，
的面积为：.
故选：B
本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题.
8、B
【解析】
试题分析：圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为 ．因为圆截直线所得弦长为4，所以．故选B．
9、A
【解析】
由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.
【详解】
在中，由正弦定理，
由，可得，
又由，则，
即，
即，解得，
所以为等腰三角形，故选A.
本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以．
考点：两条直线平行的条件．
点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】
根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对①：因为是轴上的两点，故，则，①正确；
对②：根据定义
因为，故，②正确；
对③：根据定义，
当且仅当时，取得最小值，故③错误；
对④：因为，
由不等式，即可得，故④正确.
综上正确的有①②④
故答案为：①②④.
本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.
12、②④
【解析】
结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.
【详解】
①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.
本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.
13、
【解析】
令，，将原方程化为关于的一元二次方程，解出得到，进而得出方程的解集.
【详解】
令，，
故原方程可化为，解得或，
故而或，
即方程的解集是，
故答案为.
本题主要考查了指数方程的解法，转化为一元二次方程是解题的关键，属于基础题.
14、
【解析】
由面面垂直的性质定理可得面，再结合三棱锥的体积的求法求解即可.
【详解】
解：取中点,连接，
因为四边形为边长为1的正方形
则,即,
又平面⊥平面ABC，
由面面垂直的性质定理可得：面，
且,
则,
故答案为：.

本题考查了三棱锥的体积的求法，重点考查了面面垂直的性质定理，属中档题.
15、或
【解析】
由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。
【详解】
由于在中，，，，根据余弦定理可得：，即，解得：或，经检验都满足题意；
所以当时，的面积，当时，的面积；
故的面积等于或
本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。
16、
【解析】
由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【详解】
解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，
∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），
∴S△ABC＝bcsinA
＝×2sinB×2sin（﹣B）×
＝sinB（cosB+sinB）
＝sin（2B﹣）+，
∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，
∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．
故答案为：（1，]．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ,；
(2) ,证明见解析
【解析】
(1)分别令即可运算得出，，的值；
(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,
成立,再利用推导出
即可.
【详解】
(1)令有；
令有；
令有
所以，，
(2)由(1)可得,,,,故可猜想.
证明：当时, 成立；
假设当时, 成立,
且即
当时, ,即
,化简得,
,
即也满足,当时成立,
故对于任意的,有,证毕.
所以.
本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为
(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1；
(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.
18、 (1) m (2) m＝﹣7，距离为
【解析】
（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．
（2）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值，再利用两平行线间的距离公式，求出结果．
【详解】
（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，
当（3+m ）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，
即m时，l1与l2垂直．
（2）当 时，l1与l2平行，
即 m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，
此时，两平行线间的距离为 ．
本题主要考查两条直线垂直、平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．
19、 (1) (2)
【解析】
（1）由题意知为锐角，利用二倍角余弦公式结合条件可计算出
的值；
（2）利用内角和定理以及诱导公式计算出，在中利用正弦定理可计算出.
【详解】
（1），则B为锐角，；
（2），
在中，由，得.
本题考查二倍角余弦公式、以及利用正弦定理解三角形，解三角形有关问题时，要根据已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
20、（1）见解析； （2）.
【解析】
由题意可得，对a讨论，可得所求解集；
求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
的不等式，
即为，即为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为，；
，
由在区间上是单调减函数，
可得，
解得．
即a的范围是．
本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.