2025届山东德州市陵城区一中数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

2025届山东德州市陵城区一中数学高一下期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）

A． B． C． D．
2．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．甲得分的方差是736
C．乙得分的中位数和众数都为26
D．乙得分的方差小于甲得分的方差
5．函数的图象可能是（ ）.
A． B． C． D．
6．已知，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
7．设，函数在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
10．已知向量、满足，且，则为（ ）
A． B．6 C．3 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为_____.
12．已知，则的最小值是_______.
13．已知平面向量，若，则________
14．已知等比数列的首项为，公比为其前项和为，下列命题中正确的是______.（写出全部正确命题的序号）
（1）等比数列单调递增的充要条件是，且；
（2）数列：，，，……，也是等比数列；
（3）；
（4）点在函数（，为常数，且，）的图像上.
15．若函数的图象过点，则___________.
16．已知，若数列满足，，则等于________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量.
(1)当时，求的值；
(2)设函数，当时，求的值域.
18．等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值;
（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.
20．某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．

（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；
（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．
21．已知，其中，求：
（1）；；
（2）与的夹角的余弦值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选B.
考点：几何概型.
【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
2、D
【解析】
直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可.
【详解】
因为，所以与的夹角为.
故选：D.
本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模.
3、A
【解析】
先求出再利用正弦定理求解即可.
【详解】
，，，

由正弦定理可得，
解得，
故选：A.
本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.
4、B
【解析】
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，
对于B，甲得分的平均值为，
其方差为，B错误；
对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，
对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；
故选：B．
本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数方差的计算，属于基础题．
5、D
【解析】
首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.
【详解】
是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B
，当时，，
，排除C.
故选D .
本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.
6、C
【解析】
由，得，则，利用基本不等式，即可求解．
【详解】
由题意，因为，则，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为5，故选C．
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7、C
【解析】
首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小.
【详解】
因为，
函数在区间上是增函数，
所以.故选C.
已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小.
8、C
【解析】
由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
，，可得.
取，，，则A、D选项中的不等式不成立；
取，，，则B选项中的不等式不成立；
且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.
故选：C.
本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.
9、B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
10、A
【解析】
先由可得,即可求得,再对平方处理,进而求解
【详解】
因为,所以,则,
所以,
则,
故选:A
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．
【详解】
∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，
∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，
作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，
故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，
设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，
∵kBF，kAO，
∴kBF•kAO＝•1，
整理，得x1（x1﹣5）＝1，
则x1＝5，（x1＝1不合题意，舍去），
∵AO的中点为（，），且MN∥BF，
∴直线MN的方程为y（x），
当x1＝5代入得2x+4y﹣91，
∵C是MN与x轴的交点，
∴C（，1），
而△ABO的外接圆的半径OC，
于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，
△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝1，
故答案为x2﹣9x+y2＝1．
本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题
12、3
【解析】
根据，将所求等式化为，由基本不等式，当a=b时取到最小，可得最小值。
【详解】
因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立）.
本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立。
13、1
【解析】
根据即可得出，解出即可．
【详解】
∵
∴；
解得，故答案为1．
本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题.
14、（3）
【解析】
根据递增数列的概念，以及等比数列的通项公式，充分条件与必要条件的概念，可判断（1）；令，为偶数，可判断（2）；根据等比数列的性质，直接计算，可判断（3）；令，结合题意，可判断（4），进而可得出结果.
【详解】
（1）若等比数列单调递增，则，
所以或，故且不是等比数列单调递增的充要条件；（1）错；
（2）若，为偶数，则，，因等比数列中的项不为，故此时数列，，，……，不成等比数列；（2）错；
（3）
，所以（3）正确；
（4）若，则，若点在函数的图像上，

则，因，，故不能对任意恒成立；故（4）错.
故答案为：（3）
本题主要考命题真假的判定，熟记等比数列的性质，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
15、
【解析】
由过点，求得a，代入，令，即可得到本题答案
【详解】
因为的图象过点，所以，所以，故.
故答案为：-5
本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值.
16、
【解析】
根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.
【详解】

，所以数列是以5为周期的数列，
因为20能被5整除，所以.
本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)-7， (2)
【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，再利用两角差正切公式求解：(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式，再从角出发研究基本三角函数范围：
试题解析：(1), 3分
6分
(2)8分
11分
，的值域为14分
考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
18、（1）（2）
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝
19、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;
（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;
（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.
【详解】
（1）由直方图可得:

（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.
直方图可得:
可得:

辆纯电动汽车续驶里程的中位数.
（3） 续驶里程在的车辆数为:
续驶里程在第五组的车辆数为.
从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，
其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，
其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.
本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．
（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．
【详解】
（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分
设被污损的分数为，则，解得
所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分
在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.
（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，
在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有
（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），
（80,91），（80,93）80,83），（80,88），（80,75），
（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），
（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），
（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个
随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个
∴的概率为.
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
21、（1）10；（2）
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是平面向量的数量积和向量的模．先根据是相互垂直的单位向量表示出要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算即可求出答案．
（2）本题考察的是平面向量的夹角余弦值，可以通过向量的数量积公式表示出夹角的余弦值．先求出向量的模长，然后根据（1）求出的的数量积代入公式，即可求出答案．
试题解析：（1），
．

∴|．
（2）
考点：平面向量数量积的坐标表示、模和夹角．