上海市上海交通大学附属中学2025届高一下数学期末复习检测试题含解析.doc

上海市上海交通大学附属中学2025届高一下数学期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
2．设、、为平面，为、、直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．过点P（0，2）作直线x+my﹣4＝0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y﹣14＝0的距离最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．2
4．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．3 B．6 C．9 D．81
5．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知m ，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，，则 D．若，，则
7．执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a的取值范围是

A． B．
C． D．
8．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数的最大值是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．最大角为锐角的等腰三角形 D．最大角为钝角的等腰三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图象过定点______.
12．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，.记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则________.
13．已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

14．已知函数，则函数的最小值是___．
15．若点在幂函数的图像上，则函数的反函数=________.
16．已知数列的通项公式,则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，证明．
18．已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程
19．已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
20．（1）解方程：；
（2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数；
21．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求
（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．

考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．
2、D
【解析】
根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.B选项不正确，因为可能平行于.C选项不正确，因为当时，或者.D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.综上所述，本小题选D.
本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.
3、C
【解析】
由直线过定点，得到的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心以为半径的圆，求得圆的方程，由此求出到直线的距离最小值，得到答案．
【详解】
由题意，过点作直线的垂线，垂足为，
直线过定点，
由中点公式可得，的中点，
由垂直直线，
所以点点在以点为圆心，以为半径的圆，
其圆的方程为，
则圆心到直线的距离为
所以点到直线的距离最小值；，
故选：C．

本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．
4、A
【解析】
利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.

【详解】
且

本题正确选项：
本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.
5、C
【解析】
试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.
考点：不等式
6、C
【解析】
利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．
【详解】
对于A，若，，则或者；故A错误；
对于B，若，则可能在内或者平行于；故B错误；
对于C，若，，，过分作平面于，作平面,则根据线面平行的性质定理得，，∴，根据线面平行的判定定理，可得，
又，，根据线面平行的性质定理可得，又，
∴；故C正确；
对于D．若，，则与可能垂直，如墙角；故D错误；
故选：C．
本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间想象能力，熟练运用定理是关键．
7、D
【解析】
该程序的功能是计算并输出分段函数.
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解.
综上，，则实数a的取值范围是.
故选D.
8、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.
9、B
【解析】
根据诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，根据辅助角公式结合范围求最值取得的条件即可得解.
【详解】
由题函数

，最大值是2，
所以，平方处理得：，
所以，，所以.
故选：B
此题考查根据三角函数的最值求参数的取值，考查对三角恒等变换的综合应用.
10、D
【解析】
先由余弦定理，结合题中条件，求出，再由，求出，进而可得出三角形的形状.
【详解】
因为，
所以，，
所以.
又，所以，则的形状为最大角为钝角的等腰三角形.
故选D
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值。
【详解】
当时，，，
，，……，无穷数列周期性变化，周期为2，所以。
本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。
13、
【解析】
根据图像可得，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
【详解】
由图可得：，或
由于0在函数的单调减区间内，
所以.
故答案为：
此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.
14、5
【解析】
因为 ，所以 ，函数 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将 拆成 ，凑成定值，再用基本不等式求出最小值．
15、
【解析】
根据函数经过点求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．
【详解】
因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以幂函数的解析式为，
则，所以原函数的反函数为．
故答案为：
本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16、
【解析】
本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可．
【详解】
令，
则所求式子为的前9项和．
其中，，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
，
故答案为1．
本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）;（2）见解析.
【解析】
【试题分析】（1）借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；（2）依据（1）的结论运用错位相减法求解，再借助简单缩放法推证：
（1）当时，得，
当时，得 ，
所以，
（2）由（1）得： ，
又 ①
得 ②
两式相减得： ，
故 ，
所以 .
点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件，先探求数列的的通项公式，再运用错位相减法求解前项和．解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据（1）中的结论求得，运用错位相减求和法求得，使得问题获解．
18、（1）；（2）
【解析】
(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0
19、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列可得,求得,即可求得通项公式；
（2）由（1）,则利用裂项相消法求数列的和即可
【详解】
解:（1）因为数列是等差数列,且,,
则,解得,
所以
（2）由（1）,,
所以
本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和
20、（1）或。
（2）、、、，或、、、
【解析】
（1）由正弦的倍角公式，化简得，得到解得或，结合正弦和余弦的性质，即可求解；
（2）设这四个数分别为，得到，且，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由题意，方程，可得，即，
解得或，所以或.
（2）由题意，设这四个数分别为，
可得，且，
解得：或，
所以这四个数为：、、、，或、、、.
本题主要考查了三角方程的求解，以及等差、等比中项的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及等差、等比数列中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
21、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1
【解析】
（1）先求出BC的斜率，再用点斜式求出过点A且平行于BC边的直线方程；
（2）先求出BC的中点为D的坐标，再用两点式求出直线AD的方程．
【详解】
（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率为，
故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．
（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，
即7x﹣y﹣11＝1．
本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．