广东省信宜市第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

广东省信宜市第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末统考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线与圆C相切于点，且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题中正确命题的个数为( )
①若,则；
②若，则为钝角三角形；
③若，则．
A．1 B．2 C．3 D．0
3．已知集合，则( ).
A． B． C． D．
4．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为(　　)
A． B． C． D．或
5．已知集合A＝｛x｜0≤x≤3｝，B＝｛xR｜－2＜x＜2｝则A∩B=( )
A．{0,1} B．{1} C．[0,1] D．[0,2)
6．已知直线yx+2，则其倾斜角为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．150°
7．已知函数f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a> b> c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a
8．在ΔABC中,若 ,则=（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
9．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上的解析式是
12．已知函数，它的值域是 __________.
13．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．
14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
15．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　.
16．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
19．已知数列满足．
证明数列为等差数列；
求数列的通项公式．
20．设等差数列的前项和为，已知，，；
（1）求公差的取值范围；
（2）判断与0的大小关系，并说明理由；
（3）指出、、、中哪个最大，并说明理由；
21．在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别为AB，中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅲ）求证：平面平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1C
【解析】
先代入点可得，再根据斜率关系列式可得圆心坐标，然后求出半径，写出标准方程．
【详解】
将切点代入切线方程可得：，解得，
设圆心为，所以，解得，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为．
故选：．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
2、C
【解析】
根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到为钝角②正确；化简利用余弦定理得到③正确.
【详解】
①若,则；
根据，则 即，即，正确
②若，则为钝角三角形；
，为钝角，正确
③若，则

即，正确
故选C
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用.
3、B
【解析】
求解一元二次不等式的解集，化简集合的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出.
【详解】
因为，
所以，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.
4、C
【解析】
平移CD到AB，则即为异面直线与所成的角，在直角三角形中即可求解.
【详解】
连接AC1，CD//AB，可知即为异面直线与所成的角，
在中，，故选．
本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.
5、A
【解析】
可解出集合A，然后进行交集的运算即可．
【详解】
A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x.
6、B
【解析】
根据直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角之间的关系即可求出倾斜角．
【详解】
由已知得直线的斜率，则倾斜角为120°，
故选：B．
本题考查斜率和倾斜角的关系，是基础题．
7、B
【解析】
根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.
【详解】
由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.
故选：B
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.
8、C
【解析】
向量的点乘，
【详解】
,选C.
向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角
9、A
【解析】
在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为,然后根据圆过点B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圆的方程.
【详解】
因为,
又因为圆心为C（6，5）,所以所求圆的方程为,
因为此圆过点B（3，6），
所以,所以，因而所求圆的方程为.
考点：圆的标准方程.
10、C
【解析】
直接利用等差数列公式解方程组得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：根据题意，由于是定义在上以2为周期的偶函数，那么当，，可知当x,,那么利用周期性可知，在上的解析式就是将x,的图像向右平移2个单位得到的，因此可知，答案为．
考点：函数奇偶性、周期性的运用
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．
12、
【解析】
由反余弦函数的值域可求出函数的值域.
【详解】
，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．
【详解】
由题意，设的外心为，的外心为，
则的外接圆半径，
在中，因为，
由余弦定理可得，所以，
所以的外接圆半径，
在等边中，由，所以，所以，
设球心为，球的半径为，则，
又由面，面，
则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
14、
【解析】
设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，
故答案为．
15、
【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.
【详解】
因为区间总长度为，
符合条件的区间长度为，
所以，由几何概型概率公式可得，
在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，
故答案为：.
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
16、.
【解析】
利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.
【详解】
由余弦定理得，
，，故答案为.
本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）
【解析】
（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；
（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.
【详解】
（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
，
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴

.
本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.
（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．
【详解】
证明：，且有，
，
又，
，即，且，
是首项为1，公差为的等差数列．
解：由知，即，
所以．
本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
20、（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析；
【解析】
（1）由，，，得到不等式且，即可求解公差 的取值范围；
（2）由，，结合等差数列的性质和前项和公式，得到且，即可求解；
（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，即可求解.
【详解】
（1）由题意，等差数列的前项和为，且，，，
可得，，
即且，解得，
即公差的取值范围是.
（2）由，，可得且，
即且，所以，所以.
（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，
当时，，当时，，
所以、、、中最大.
本题主要考查了等差数列的前项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的单调性的应用，其中解答熟记等差数列的前项和公式，等差数列的性质，合理利用数列的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）只需证明，，即可得平面；
（Ⅱ）可得四边形为平行四边形，，，即可得四边形为平行四边形；
（Ⅲ）易得平面，即可得平面平面.
【详解】
（Ⅰ）∵平面，∴，
又，，而，
∴平面.
（Ⅱ）∵、分别为、的中点，
∴，，即四边形为平行四边形，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
（Ⅲ）∵，为中点，
∴，
又∵，且，
∴平面，而平面，
∴平面平面.
本题考查了空间点、线、面位置关系，属于基础题.