2025届广东省揭阳市榕城区揭阳三中高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届广东省揭阳市榕城区揭阳三中高一下数学期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
3．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．的内角、、所对的边分别为、、，下列命题：（1）三边、、既成等差数列，又成等比数列，则是等边三角形；（2）若，则是等腰三角形；（3）若，则；（4）若，则；（5），，若唯一确定，则.其中，正确命题是（ ）
A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（5） D．（3）（4）（5）
5．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．向量，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　)
A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
9．已知函数的图像如图所示，关于有以下5个结论:

（1）；（2），；（3）将图像上所有点向右平移个单位得到的图形所对应的函数是偶函数；（4）对于任意实数x都有；（5）对于任意实数x都有；其中所有正确结论的编号是（ ）
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)(5) C．(1)(2)(4) D．(1)(3)(4)(5)
10．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若正实数满足，则的最大值为__________ .
12．等比数列中，若，，则______.
13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．
14．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．
15．方程在区间上的解为___________．
16．如图，在正方体中，有以下结论：

①平面；
②平面；
③；
④异面直线与所成的角为.
则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知点，，.
（Ⅰ)求的坐标及；
（Ⅱ)当实数为何值时，.
19．已知函数.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.
20．设二次函数.
（1）若对任意实数，恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
21．已知是等差数列，满足，，且数列的前n项和.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，求证:.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.
【详解】
，，
，由正弦定理边角互化思想得，
，，同理得，
，，则，解得，
中至少有两个锐角，且，，所以，，
，因此，，故选D.
本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
2、B
【解析】
通过余弦定理可得答案.
【详解】
设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.
本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.
3、A
【解析】
先根据求出与之垂直直线的斜率，再利用点斜式求得直线方程。
【详解】
由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系，求得，再利用点斜式，可求得直线方程为，化简得，选A
当直线斜率存在时，直线垂直的斜率关系为
4、A
【解析】
由等差数列和等比数列中项性质可判断（1）；由正弦定理和二倍角公式、诱导公式，可判断（2）； 由三角形的边角关系和余弦函数的单调性可判断（3）；由余弦定理和基本不等式可判断（4）； 由正弦定理和三角形的边角关系可判断（5）．
【详解】
解：若、、既成等差数列，又成等比数列，则，，则，得，得，得，则是等边三角形，故（1）正确；
若，则，则，则或，即或，则△ABC是等腰或直角三角形，故（2）错误；
若，则，则，故（3）正确；
若，则，则，由得，则，则，故（4正确；
若，，则，即，又，若唯一确定，则或，则或，故（5）错误；
故选：A．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角形的形状的判断，考查化简运算能力，属于中档题．
5、D
【解析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】
由二倍角公式得：，
故选D.
本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
6、A
【解析】
根据向量的数量积结合基本不等式即可．
【详解】
由题意得，因为，为正实数，则

当且仅当时取等．所以选择A
本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题
7、C
【解析】
试题分析：，，

得得，故选C.
考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.
8、C
【解析】
设点A（3,1）关于直线的对称点为，则 ，解得 ，即，所以直线的方程为，联立 解得 ，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.
点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地进行求解。
9、B
【解析】
由图象可观察出的最值和周期，从而求出，将图像上所有的点向右平移个单位得到的函数，可判断（3）的正误，利用，可判断(4)(5)的正误.
【详解】
由图可知：，
所以，，
所以，即
因为，所以，所以，故(1)(2)正确
将图像上所有的点向右平移个单位得到的函数为

此函数是奇函数，故(3)错误
因为
所以关于直线对称，即有
故(4)正确
因为
所以关于点对称，即有
故(5)正确
综上可知：正确的有(1)(2)(4)(5)
故选：B
本题考查的是三角函数的图象及其性质，属于中档题.
10、B
【解析】
根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，
令，即，解得或（不合题意），
所以是数列的第8项，
故选B.
本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
可利用基本不等式求的最大值.
【详解】
因为都是正数，由基本不等式有，
所以即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
12、
【解析】
设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.
【详解】
设的首项为，公比为，则：，解之得，
所以：.
故答案为：.
本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.
13、
【解析】
将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．
【详解】
所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，
因此，所求的事件的概率为，故答案为．
本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．
14、
【解析】
利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，
问题得解.
【详解】
因为在方向上的射影数量为2，
所以，整理得：
又，为单位向量，
所以.
设与的夹角，则
所以与的夹角是
本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.
15、
【解析】
试题分析：
化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
16、①③
【解析】
①：利用线面平行的判定定理可以直接判断是正确的结论；
②：举反例可以判断出该结论是错误的；
③：可以利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可以判断是正确的结论；
④：可以通过，可以判断出异面直线与所成的角为，即本结论是错误的，最后选出正确的结论序号.
【详解】
①：平面，平面 平面，故本结论是正确的；
②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；
③：平面，平面，，在正方形中，
，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；
④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，
，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、性质定理，考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析，；（3）或.
【解析】
（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】
(1)，可得，即；
时,,又，
相减可得,即，
则；
(2)证明：，
可得，
可得是首项和公差均为1的等差数列，
可得,即；
(3) ，
前n项和为，
，
相减可得
，
可得，
,即为，
即,对任意的成立，
由，
可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，
可得，即或.
“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
18、（Ⅰ)，；（Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）根据点，的坐标即可求出，从而可求出；（Ⅱ）可以求出，根据即可得出，解出即可．
【详解】
（Ⅰ)∵，，∴
∴
（Ⅱ)∵，∴.
∵∴，∴
考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．
19、（1）单调递增区间为；（2）见解析.
【解析】
（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；
（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.
【详解】
（1）.
令，解得，
所以，函数在上的单调递增区间为，
，因此，函数在上的单调递增区间为；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
由，
对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，
每个区间至少含有一个整数，
因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）是关于m的一次函数，计算得到答案.
（2）易知，讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】
（1）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立，
是关于m的一次函数， ，
解得或，所以实数x的取值范围是.
（2）存在，使得成立，即，显然.
（i）当时，要使成立，即需成立，
即需成立. ，
(当且仅当时等号成立) ，
，.
（ii）当时，要使成立，即需成立，
即需成立，，
（当且仅当时等号成立）
，.
综上得实数m的取值范围是.
本题考查了恒成立问题和存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.
21、（1），（2）证明见解析
【解析】
（1）计算，得到，再计算的通项公式得到答案.
（2），利用裂项求和得到得到证明.
【详解】
（1），，.，.
是等差数列，所以，所以.
当时，，
又，所以，当时，，符合，
所以的通项公式是.
（2）.所以，即.
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.