2024-2025学年辽宁师大附中数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年辽宁师大附中数学高一第二学期期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
2．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
4．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
5．将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．sin480°等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为( )
A． B． C． D．
8．两数1，25的等差中项为（ ）
A．1 B．13 C．5 D．
9．下列说法中正确的是(   )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
10．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位：）是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集是 ．
12．若数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是______.
13．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.
14．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人
15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、，，则的值是__________.

16．平面四边形 中,,则=_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列，，，且.

(1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项；
(2)若，并且数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正整数的最小值.(注:当时，则)
18．已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立。
求：（1）求函数的解析式；
（2）设，求时的值域。
19．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
20．已知.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）解不等式.
21．已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．
故选：A．
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
2、B
【解析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
3、D
【解析】
由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.
【详解】
直线恒过点
则，
本题正确选项：
本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.
4、A
【解析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,,则

所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
5、A
【解析】
根据三角函数的图象的平移变换得到所求．
【详解】
由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；
故选：A．
本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．
6、D
【解析】
试题分析：因为，所以选D.
考点：诱导公式，特殊角的三角函数值.
7、C
【解析】
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】
设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是.
则由题意可得：.
可得：，解得
可得：
故选：C
本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
直接利用等差中项的公式求解.
【详解】
由题得两数1，25的等差中项为.
故选：B
本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、B
【解析】
试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.
考点：本小题主要考查空间几何体的性质.
点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.
10、C
【解析】
通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成
【详解】
圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，其中，，。选C
几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
因为,且抛物线开口方向向上，
所以，
不等式的解集是.
12、
【解析】
根据等比数列的定义即可判断出该数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式．
【详解】
解：∵，
该数列是以为首项，为公比的等比数列，
该数列的通项公式是：，
故答案为：．
本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式，属于基础题．
13、-1
【解析】
，，，
由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．
【详解】
如图，，则，设是中点，则，
∵，
∴，即，
，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，
，注意到，因此当与反向时，最小，
∴．
∴最小值为-1．
故答案为-1．

本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．
14、16
【解析】
利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．
【详解】
由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，
通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．
故答案为16
本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15、
【解析】
设，则，由题意得：，由此能求出的值．
【详解】
设，则，
由题意得：，解得，
．
故答案为：．
本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16、
【解析】
先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解.
【详解】
依题意得中，，故．

在中，由正弦定理可知，，
得．
在中，因为，
故．
则．
在中，由余弦定理可知，，
即．
得．
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)证明见解析， (2)10
【解析】
（1）根据等比数列的定义，结合题中条件，计算，，即可证明数列是等比数列，求出；再根据累加法，即可求出数列的通项；
（2）根据题意，得到，分别求出，当，用放缩法得，根据裂项相消法求，进而可求出结果.
【详解】
(1)证明：，而
∴是以4为首项2为公比的等比数列，，
∴即，，
所以，，......，，
以上各式相加得：；
∴；
(2)由（1）得：，，，
，，
由已知条件知当时，，即
∴
，而综上所述得最小值为10.
本题主要考查证明数列为等比数列，求数列的通项公式，以及数列的应用，熟记等比数列的概念，累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和等即可，属于常考题型.
18、 (1) ；(2)
【解析】
（1）将写成顶点式，然后根据最小值和对称轴进行分析；（2）先将表示出来，然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域.
【详解】
解：（1）∵

又∵
∴对称轴为
∵值域为
∴且
∴,，则函数
（2）∵
∵
∴令,则
∴

∵∴，则
所求值域为
对于形如的函数，其单调增区间是：和，单调减区间是：和.
19、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元
【解析】
（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．
【详解】
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设知；
由图1知，
由图2知
则，.
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.
，
，令，则
则
当时，，
此时
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.
本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．
20、（1）；（2）时，解集为，时，解集为，时解集为．
【解析】
（1）由一元二次不等式的解集一一元二次方程的解之间的联系求解；
（2）按和的大小分类讨论．
【详解】
（1）由题意的解集为，
则方程的解为1和4，
∴，解得；
（2）不等式为，
时，，此时不等式解集为，
时，，，
当时，，。

综上，原不等式的解集：时，解集为，时，解集为，时解集为．
本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次的关系是解题关键，解题时注意对参数分类讨论．
21、（1）y=2x+1；（2）a=-2或
【解析】
（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．
【详解】
（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，
可得直线l的斜率为=2，
则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1；
（2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切，
可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有
=，
解得a=2或．
本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．