广东肇庆中学2025年数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

广东肇庆中学2025年数学高一下期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）

A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km
2．将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线的斜率是（ ）

A． B．13 C．0 D．
4．在区间[–1，1]上任取两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（ ）

A．8 B． C． D．4
6．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）
A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6
8．一个球自高为米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米
A． B． C． D．
9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
10．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　.
12．过点作圆的切线，则切线的方程为_____．
13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中 分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．
14．函数的单调增区间是________.
15．如图为函数（，，，）的部分图像，则函数解析式为________

16．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是同一平面内的三个向量，其中.
（Ⅰ）若，且，求；
（Ⅱ）若，且与垂直，求实数的值.
18．数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知函数，，
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的最大值和最小值，并写出相应的x的值.
20．如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设E是上一点，试确定E的位置使平面平面BDE，并说明理由.
21．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.
【详解】
在中，
根据正弦定理，

所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km
故选：C
本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
2、A
【解析】
先按照图像变换的知识求得的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得在上的最小值.
【详解】
图像上所有的点向左平移个单位长度得到，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由得，故在区间上的最小值为.
故选A.
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.
3、A
【解析】
由题得即得直线的斜率得解.
【详解】
由题得，所以直线的斜率为.
故选：A
本题主要考查直线的斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、A
【解析】
由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为，其面积为．设“在区间[-1,1]上任选两个数，则”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，其面积为．
由几何概型概率公式可得所求概率为．选A．
5、C
【解析】
先求解圆锥的底面半径,再根据侧面展开图的结构计算扇形中间的距离即可.
【详解】

设圆柱的高为,则 ,得.
因为,所以为的中位线,
所以,则.
即圆锥的底面半径为1,母线长为4,
则展开后所得扇形的弧长为,圆心角为.
所以从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为.
故选：C.
本题主要考查了圆柱与圆锥内切求解有关量的问题以及圆锥的侧面积展开求距离最小值的问题.属于中档题.
6、B
【解析】
根据二项分布的概率公式求解.
【详解】
每枚硬币正面向上的概率都等于，
故恰好有两枚正面向上的概率为：.
故选B.
本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.
7、D
【解析】
由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．
【详解】
∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，
则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．
8、D
【解析】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可得出球经过的路程总和为米.
【详解】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，
则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，球经过的路程总和米.
故选:D.
本题考查等比数列的实际应用，涉及到无穷等比数列求和问题，考查计算能力，属于中等题.
9、D
【解析】
试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
10、A
【解析】
.
所以选A.
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.
【详解】
因为区间总长度为，
符合条件的区间长度为，
所以，由几何概型概率公式可得，
在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，
故答案为：.
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
12、或
【解析】
求出圆的圆心与半径分别为：，，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案．
【详解】
由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为; ，;
（1）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为：，此时圆心到直线的距离，故不与圆相切，不满足题意；
（2）当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为：，即为；
由于直线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得：或，所以切线的方程为或；
综述所述：切线的方程或
本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题．
13、
【解析
由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．
【详解】
因为，所以
整理可得 ，由正弦定理得
因为，
所以
所以当时，的面积的最大值为
本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．
14、，
【解析】
先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出。
【详解】
因为，所以的单调增区间是，。
本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。
15、
【解析】
由函数的部分图像，先求得，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，根据函数的部分图像，
可得，所以，又由，即，
又由，即，
解得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
16、1或；
【解析】
要使最大，则最小．
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为．
∵若的最大值为，
∴，解得或．
故答案为1或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)根据向量平行的相关性质以及、即可得出向量，然后根据向量的模长公式即可得出结果；
(2)首先可根据、写出与的坐标表示，然后根据向量垂直可得，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
(1)因为，，
所以，，，
所以．
(2)因为，，所以，.
因为与垂直，所以，
即，．
本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质，考查向量的坐标表示以及向量的模长公式，若、且，则，考查计算能力，是中档题．
18、 (1) (2)
【解析】
(1) 当时，，利用得到通项公式，验证得到答案
(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案.
【详解】
(1)当时，，
当时，.
综上所述.
(2)当时，，所以

，
当时，，

.
综上所述.
本题考查了利用求通项公式，数列的绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误.
19、（1）（2）时最大值为2，时最小值
【解析】
（1）由二倍角公式和辅助角公式可得，再由周期公式，可得所求值（2）由的范围，可得的范围，由于余弦函数的图象和性质，可得所求最值．
【详解】
（1）函数
，
可得的最小正周期为；
（2），，可得，，
可得当即时，可得取得最大值2；
当，即时，可得取得最小值．
本题考查二倍角公式和两角差的余弦函数，考查余弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．
20、（1）证明见详解，（2）证明见详解，（3）当为的中点时，平面平面BDE，证明见详解
【解析】
（1）连接与相交于，可得，结合线面平行的判定定理即可证明平面
（2）先证明和即可得出平面，然后可得，又，即可证明平面
（3）当为的中点时，平面平面BDE，由已知易得，结合平面可得平面，进而根据面面垂直的判定定理得到结论.
【详解】
（1）如图，连接与相交于，则为的中点

连接，又为的中点
所以，又平面，平面
所以平面
（2）因为，所以四边形为正方形
所以
又因为平面，平面
所以
所以平面，所以
又在直三棱柱中，
所以平面
（3）当为的中点时，平面平面BDE

因为分别是的中点
所以,因为平面
所以平面，又平面
所以平面平面BDE
本题考查的是立体几何中线面平行和垂直的证明，要求我们要熟悉并掌握平行与垂直有关的判定定理和性质定理，在证明的过程中要注意步骤的完整.
21、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；
（1）为正三角形，为中点，可得，再由 底面，得
底面，得，可证平面，有，为
的平面角，解，即可求出结论.
【详解】
（1）连交于，连，三棱柱，
侧面为平行四边形，所以点为中点，
为中点，所以，因为平面，
平面，所以直线平面；
（2）为正三角形，为中点，可得，
三棱柱，所以， 底面，
所以 底面，底面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，
为的平面角，
在中，， ，
所以 ，
所以二面角的大小为.

本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.