2025年辽宁省葫芦岛市建昌县高级中学高一下数学期末经典试题含解析.doc

2025年辽宁省葫芦岛市建昌县高级中学高一下数学期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “φ＝”是“函数y=sin（x＋φ）为偶函数的”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
5．已知向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
7．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位
8．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
9．椭圆以轴和轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列的前项和为，，，则________．
12．已知为等差数列，，，，则______.
13．在中，，，点为延长线上一点，，连接，则=______.
14．若满足约束条件，的最小值为，则________．
15．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则_____________．
16．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为_______________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,7274 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
18．在如图所示的直角梯形中，，求该梯形绕上底边所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.

19．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.
21．已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足.若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
试题分析：当时，时，是偶函数，当是偶函数时，，所以不能推出是，所以是充分不必要条件，故选A．
考点：三角函数的性质
2、D
【解析】
根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。
【详解】
根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，
且其半径，
则其标准方程为，变形可得其一般方程是，
故选．
本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。
3、D
【解析】
根据正弦定理得到，计算得到答案.
【详解】
，则，即.
故或，即.
故选：.
本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.
4、B
【解析】
由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】
由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.
故选：B.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
5、D
【解析】
利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.
【详解】
，，，，解得，故选D.
本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．
【详解】
依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选B．
本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．
7、B
【解析】
把化简即得解.
【详解】
由题得，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单位，
故选：B
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、D
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，如图，

画出可行域，，，，
平移直线，
由图可知，直线经过时
目标函数有最大值，
的最大值为9.
故选D.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9、C
【解析】
由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，分类讨论，即可求解.
【详解】
由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在x轴上，则，，椭圆方程为；
若焦点在y轴上，则，，椭圆方程为，
故选C．
本题主要考查了椭圆的方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.
【详解】
由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
由斜率公式得，解得，故选D.
本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、18
【解析】
利用，化简得到数列是首项为，公比为的等比数列，利用,即可求解.
【详解】

,即
所以数列是首项为，公比为的等比数列
即
所以
故答案为：
本题主要考查了与的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题.
12、
【解析】
由等差数列的前项和公式，代入计算即可.
【详解】
已知为等差数列，且，，所以，
解得或（舍）
故答案为
本题考查了等差数列前项和公式的应用，属于基础题.
13、.
【解析】
由题意,画出几何图形.由三线合一可求得,根据补角关系可求得.再结合余弦定理即可求得.
【详解】
在中,,
作,如下图所示:

由三线合一可知为中点
则
所以
点为延长线上一点,
则在中由余弦定理可得

所以
故答案为:
本题考查了等腰三角形性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
14、4
【解析】
由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

取最小值时，即在轴截距最小
平移直线可知，当过点时，在轴截距最小
由得：
，解得：
本题正确结果：
本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.
15、
【解析】
首先分析直线与圆的位置关系，然后结合已知可判断四边形的形状，得出的比值，最后得到答案.
【详解】
设切点为，根据已知两切线垂直，
四边形是正方形，
，根据，
可得.
故填：.
本题考查了直线与圆的几何性质，以及椭圆的性质，考查了转化与化归的能力，属于基础题型.
16、
【解析】
在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.

【详解】
因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD ,O在上，，所以,
在三角形中，由,，,，
由余弦定理
在直角三角形中
所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.
所以所求截面面积的范围是.
本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析
【解析】
（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解
（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可
（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解
【详解】
（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人
（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
（3），
，
因，所以第二位同学的实验更稳定.
本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题
18、表面积为，体积为．
【解析】
直角梯形绕它的上底（较短的底）所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，由此可计算表面积和体积．
【详解】
如图直角梯形绕上底边所在直线旋转一周所形成几何体是以为母线的圆柱挖去以为母线的圆锥．
由题意，
∴，
．
本题考查旋转体的表面积和体积，解题关键是确定该旋转体是由哪些基本几何体组合成的．
19、（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的性质可求出，进而可求出的通项公式；（2），由裂项相消求和法可求出.
详解】
解：（1）设等差数列的公差为，则.
因为所以，
解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意知，
所以.
本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用裂项相消求数列的前项和，属于基础题.
20、（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、
【解析】
(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.
(2) 取线段的中点 ，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.
【详解】
(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得
由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，
由题意有，解得：，，
故圆的标准方程为.
(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，
设点的坐标为，则点的坐标为
有
则以为直径的圆的方程为：，整理为
可得.
令，解得或，
故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.
本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.
21、（1）；（2）63
【解析】
（1）求出公差和首项，可得通项公式；
（2）由得公比，再得，结合通项公式求得.
【详解】
（1）由题意等差数列的公差，，，
∴；
（2）由（1），∴，，
∴，.
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.