山东省沂源县二中2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

山东省沂源县二中2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
3．将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）
A． B．
C． D．
4．得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左移动 B．向右移动 C．向左移动 D．向右移动
5．若直线与直线平行，则实数
A．0 B．1 C． D．
6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P满足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为()
A． B． C． D．
7．在数列{an}中，an＝31﹣3n，设bn＝anan+1an+2（n∈N*）．Tn是数列{bn}的前n项和，当Tn取得最大值时n的值为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．已知为等比数列的前项和，，，则　　
A． B． C． D．11
9．在中，角的对边分别是，若，则角的大小为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．设是等差数列的前项和,若,则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是_______
12． “”是“数列依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.
13．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．
14．设y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点（2，0）对称，若当x∈（0，2）时，f（x）＝x2，则f（19）＝_____
15．如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则______，_________.

16．已知直线与相互垂直，且垂足为，则的值为__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列的前项和为，对于，，其中是常数.
（1）试讨论：数列在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设，且对任意的，有意义，数列的前项和为.若，求的最大值.
18．已知分别为内角的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①；②.
(1)求角
(2)若,,求的面积.
19．在数列中，，.
（1）分别计算，，的值；
（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
20．在平面直角坐标系中，已知向量,,.
（1）若，求的值；

（2）若与的夹角为，求的值.
21．在中，角所对的边分别为，，，，为的中点.

（1）求的长；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理可得，因为，所以或，所以或，所以的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D．
考点：正弦定理．
2、A
【解析】
根据三视图，还原空间结构体，根据空间结构体的特征及球、棱锥的体积公式求得总体积．
【详解】
根据空间结构体的三视图，得原空间结构体如下图所示：

该几何体是由下面半球的和上面四棱锥的组成
由三视图的棱长及半径关系，可得几何体的体积为

所以选A
本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的体积求法，属于中档题．
3、A
【解析】
根据三角函数的图象的平移变换得到所求．
【详解】
由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；
故选：A．
本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．
4、B
【解析】
直接利用三角函数图象的平移变换法则,对选项中的变换逐一判断即可.
【详解】
函数的图象，向左平移个单位，得，错；
函数的图象,向右平移个单位，得，对.
函数的图象,向左平移个单位，得，错；
函数的图象,向右平移个单位，得，错,故选B.
本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
5、B
【解析】
根据两直线的平行关系，列出方程，即可求解实数的值，得到答案．
【详解】
由题意，当时，显然两条直线不平行，所以；
由两条直线平行可得：，解得，
当时，直线方程分别为：，，显然平行，符合题意；
当时，直线方程分别为，，很显然两条直线重合，不合题意，舍去，
所以，故选B．
本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的条件，准去计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6、C
【解析】
设点坐标，代入，得到即，再根据，即可求解.
【详解】
设点坐标，因为点的坐标分别为，
将各点坐标代入,可得，
即，解得，代入，
化简得，故选C.
本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
7、B
【解析】
由已知得到等差数列的公差，且数列的前11项大于1，自第11项起小于1，由，得出从到的值都大于零，时，时，，且，而当时，，由此可得答案．
【详解】
由，得，等差数列的公差，
由，得，则数列的前11项大于1，自第11项起小于1．
由，可得从到的值都大于零，
当时，时，，且，当时，，
所以取得最大值时的值为11.
故选：B．
本题主要考查了数列递推式，以及数列的和的最值的判定，其中解答的关键是明确数列的项的特点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
8、C
【解析】
由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．
【详解】
设等比数列公比为q，，
则，解得，
，
故选：C．
本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
9、B
【解析】
通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.
【详解】
由正弦定理可得：，，∵，
∴为锐角或钝角，∴或．故选B．
本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍.
10、A
【解析】
，，选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
当直线过原点时，设，过点，则，即；
当直线不过原点时，设，过点，则，即；
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或.
本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误.
12、必要非充分
【解析】
通过等差数列的下标公式得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.
【详解】
因为数列依次成等差数列，
所以根据等差数列下标公式，可得，
当，时，
满足，
但不能得到数列依次成等差数列
所以综上，“”是“数列依次成等差数列”的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分.
本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.
13、
【解析】
∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，
∴，
所以必有，，利用累加法可得：，故，得，
故答案为.
点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.
14、﹣1.
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得，即函数是周期为的周期函数，据此可得，再由函数的解析式计算即可.
【详解】
根据题意，是定义域为的偶函数，则，
又由得图象关于点对称，则，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以，
又当时，，则，
所以.
故答案为：.
本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.
15、3. 5.
【解析】
根据茎叶图,将两组数据按照从小到大顺序排列,由中位数和平均数相等,即可解得的值.
【详解】
甲乙两组数据的中位数相等平均数也相等
对于甲组将数据按照从小到大顺序排列后可知,中位数为65.所以乙组中位数也为65.根据乙组数据可得
则由两组的平均数相等,可知两组的总数也相等,即
解得
故答案为: ;
本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图求中位数和平均数,属于基础题.
16、
【解析】
先由两直线垂直，可求出的值，将垂足点代入直线的方程可求出的点，再将垂足点代入直线的方程可求出的值，由此可计算出的值.
【详解】
，，解得，
直线的方程为，即，
由于点在直线上，，解得，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
因此，.
故答案为：.
本题考查了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公共点求参数，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当，且时，数列一定为等比数列.理由见解析；（2）
【解析】
（1）利用等比数列的定义证明数列为等比数列．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值．
【详解】
解：（1）对于，，，①
.②
①减②得，即，，.
当，且时，数列一定为等比数列.
（2）由（1）得，，
由，得，
即（或）
由可解得.
所以，.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18、（1）选择①，；选择②，（2）
【解析】
（1）选择①，利用正弦定理余弦定理化简即得C；选择②，利用正弦定理化简即得C的值；（2）根据余弦定理得，再求的面积.
【详解】
解：（1）选择①
根据正弦定理得，
从而可得，
根据余弦定理，
解得，
因为，故.
选择②
根据正弦定理有，
即，
即
因为，故，从而有，
故
（2）根据余弦定理得，
得，
即，解得，
又因为的面积为，
故的面积为.
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
19 (1) ,；
(2) ,证明见解析
【解析】
(1)分别令即可运算得出，，的值；
(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,
成立,再利用推导出
即可.
【详解】
(1)令有；
令有；
令有
所以，，
(2)由(1)可得,,,,故可猜想.
证明：当时, 成立；
假设当时, 成立,
且即
当时, ,即
,化简得,
,
即也满足,当时成立,
故对于任意的,有,证毕.
所以.
本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：
(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1；
(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.

综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.
20、（1） 1 （2）
【解析】
（1）. 若,则，结合三角函数的关系式即可求的值；
（2）.若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求的值．
【详解】
（1）由，则
即，所以
所以
（2） ，

又与的夹角为，则
即
即
由，则
所以，即
本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
21、 (1) ．(2)
【解析】
（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.
【详解】
解：（1）在中，由余弦定理得，
∴，解得
∵为的中点，∴．
在中，由余弦定理得

，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，
∴．
本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.