2025年辽宁省营口市开发区第一高级中学高一下数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025年辽宁省营口市开发区第一高级中学高一下数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
2．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
C．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍；
D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍
4．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）

A．640 B．520 C．280 D．240
7．边长为1的正方形上有一动点，则向量的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是( )
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最小值
10．化简的结果是（　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知变量和线性相关，其一组观测数据为，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则______.
12．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为____________．

13．已知函数，下列结论中：
函数关于对称；
函数关于对称；
函数在是增函数，
将的图象向右平移可得到的图象．
其中正确的结论序号为______ ．
14．设当时，函数取得最大值，则______.
15．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为______
16．在等差数列中，，，则公差______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，是的中点，且，求的面积.
18．已知边长为2的等边，是边的中点，以为旋转中心，逆时针旋转得对应，与所在直线交于.

（1）任意旋转角，判断是否是定值.若是，求此定值；若不是，说明理由.
（2）求的最小值.
19．已知函数（）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数的值域.
20．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求与的值；
（2）设的三个角、、所对的边依次为、、，如果，且，试求的取值范围；
（3）求函数的最大值.
21．2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：

（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；
（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
，，向量在方向上的投影为，故选A．
2、D
【解析】
根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD.
【详解】
由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.
本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.
3、B
【解析】
根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】
把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x）的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin（），x∈R的图象，
故选：B．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ的图象变换规律，属于中档题．
4、B
【解析】
根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.
【详解】
点在直线上,故得到，
存在满足该条件的使得不等式成立，即

故原题转化为
故答案为：B
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
5、D
【解析】
根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.
【详解】
由题知，
则.
故选：D.
本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.
6、B
【解析】
由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．
【详解】
初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，
所有学生的成绩均在区间（30，150]内，
由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．
∴获得复赛资格的人数为：0.1×800＝2．
故选：B．
本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．
7、A
【解析】
分类，按在正方形的四条边上分别求解．
【详解】
如图，分别以为建立平面直角坐标系，，设，，∴，
当在边或上时，，所以，
当在边上时，，，
当在边上时，，，
∴的取值范围是．
故选：A.

本题考查平面向量的数量积，通过建立坐标系，把向量和数量积用坐标表示，使问题简单化．
8、B
【解析】

直线恒过点
且斜率为

由图可知，且

故选
点睛：本题主要考查了两条直线的交点坐标，直线恒过点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
9、D
【解析】
根据题干条件可得到数列>1,0由前n项积的性质得到是数列中的最大值；从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.
【详解】
因为条件：，，，可知数列>1,0据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．
【详解】
根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，
故选A．
本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、355
【解析】
根据回归直线必过样本点的中心，根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解.
【详解】
由题：，回归直线方程为，
所以，
.
故答案为：355
此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标，关键在于掌握回归直线必过样本点的中心，根据平均数求解.
12、
【解析】
由诱导公式可知，在中用余弦定理可得BD的长。
【详解】
由题得，，在中，可得，又，代入得，解得.
故答案为：
本题考查余弦定理和诱导公式，是基础题。
13、
【解析】
把化成的型式即可。
【详解】
由题意得
所以对称轴为，
对，当时，对称中心为，对。
的增区间为，对

向右平移得。错
本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。
14、；
【解析】
f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
15、
【解析】
根据题意，化简得，利用式相加，得到，进而得到，即可求解结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
将以上各式相加，得，
又，所以，解得或.
本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16、3
【解析】
根据等差数列公差性质列式得结果.
【详解】
因为，，所以.
本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理和和差公式计算得到答案.
（2）利用代入余弦定理公式得到，计算面积得到答案.
【详解】
（1）∵是的内角，
∴且
又由正弦定理：和已知条件得：

化简得：，
又∵
∴；
（2）∵，是的中点，且，，，
∴由余弦定理得：，代入化简得：
又，即，可得：
故所求的面积为.
本题考查了余弦定理，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
18、（1）是，0；（2）.
【解析】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出的坐标，计算得出，进而得出；
（2）根据得出点的轨迹是以为直径的圆，由圆的对称性得出的最小值.
【详解】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则
，即

∴
设，则
所以为定值，定值为
（2）由（1）知，故在以为直径的圆上
设的中点，则，以为直径的圆的半径
由圆的对称性可知，的最小值是.
本题主要考查了计算向量的数量积以及圆对称性的应用，属于中档题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；
（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．
【详解】
解：（1）由函数的一段图象知，
，，
，解得，
又时，，，，解得，；
，
函数的解析式为；
（2）当时，，
令，解得，此时取得最大值为2；
令，解得，此时取得最小值为；
函数的值域为．
本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．
20、（1），；（2）；（3）.
【解析】
（1）由图象有，可得的值，然后根据五点法作图可得，进而求出（2）根据,可得,然后由行列式求出,再由正弦定理转化为，根据的范围求出的范围（3）将化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题.
【详解】
（1）由函数图象可得，解得，再根据五点法作图可得，解得，
.
（2）

，
由正弦定理知，
，，

，

.
（3）

令，因为，所以，则

，
令，因为，所以,
则
令，则，
只需求出的最大值，
，
令，则，
当时，，此时单调递增，当时，，
此时单调递减，
.
函数的最大值为.
本题主要考查了利用三角函数的部分图象求解析式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题.
21、（1）（2）符合
【解析】
：（1）先列举出从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件，再列举其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，最后计算即可．
（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意计算该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率．
【详解】
解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：
（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），
（32,34）共10个．
其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．
设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概率为．　　
（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：
．故此方案符合国家“保基本”政策．
本题考查了古典概型在实际生活中的应用，要紧扣题意从题目中抽象出数学计算的模型．