2025届浙江大学附属中学高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025届浙江大学附属中学高一数学第二学期期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ）
A． B．， C．， D．，
3．某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
4．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．有穷数列中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，，且，则有穷数列中值为0的项数是（ ）
A．1000 B．1010 C．1015 D．1030
6．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（ ）
A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面
7．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（ ）

A． B． C． D．
8．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（　　）
A． B． C． D．
9．是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
10．棱长为2的正方体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．382与1337的最大公约数是__________.
12．数列满足，则等于______.
13．如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________.

14．已知，且，则的值是_______.
15．在等比数列中，，的值为______.
16．已知等差数列则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差及前项和.
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
19．已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
20．已知关于的不等式.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当且m≠1时，求不等式的解集.
21．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.
【详解】
因为，所以可化为
，即，
可得，所以.
又由正弦定理得，，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
故选C
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
2、D
【解析】
根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.
【详解】
解：当，，时，显然不等式不成立，
当时，不等式成立，
故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，
故选：.
本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．
3、B
【解析】
通过余弦定理可得答案.
【详解】
设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.
本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.
4、C
【解析】
根据扇形的面积公式即可求得.
【详解】
解：由题意：，
所以扇形的面积为：

故选：C
本题考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，核心是记住公式.
5、B
【解析】
把（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870展开，将a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化简得：＝1005，由于数列a1，a2，a3，…，a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，即可得出．
【详解】
（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，
展开可得：+2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，
把a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化简可得：＝1005，
∵数列a1，a2，a3，…，a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，
∴有穷数列a1，a2，a3，…，a2015中值为0的项数等于2015﹣1005＝1．
故选B．
本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、C
【解析】
根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.
【详解】
因为平面平面，直线，直线，
所以直线没有公共点，
所以两条直线平行或异面.
故选：C.
本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.
7、B
【解析】
过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．
【详解】
过点作于点，过点作于点，
如图所示，在中，由正弦定理得，，
即，
，在中，，
又山高为，则灯塔的高度是
．
故选．

本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
8、D
【解析】
根据任意角三角函数定义可求得；根据诱导公式可将所求式子化为，代入求得结果.
【详解】
由得：

本题正确选项：
本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题；关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值.
9、C
【解析】
由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案．
【详解】
由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，
又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C．
本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
10、C
【解析】
根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.
【详解】
因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，
所以直径，
内切球的体积为，
故选：C.
本题主要考查正方体的内切球的体积，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、191
【解析】
利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.
【详解】
因为，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.
本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.
12、15
【解析】
先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。
【详解】

故答案为15.
本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。
13、
【解析】
由程序框图，得运行过程如下：；
，结束循环，即输出的的值是7.
14、
【解析】
计算出的值，然后利用诱导公式可求得的值.
【详解】
，，则，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用诱导公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
由等比中项，结合得，化简即可.
【详解】
由等比中项得，得，设等比数列的公比为，
化简.
故答案为：4
本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.
16、1
【解析】
试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=1．
考点：等差数列的通项公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、，
【解析】
先设等差数列的公差为 ，根据第6项为正数，从第7项起为负数，得到 求，再利用等差数列前项和公式求其.
【详解】
设等差数列的公差为 ，
因为第6项为正数，从第7项起为负数，
所以 ，
即，
所以
又因为

所以
所以
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、 (1) (2)
【解析】
分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以.
详解： (1)∵
∴

∴
（2）∵
∴ ∴
点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
19、1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．
试题解析：（1）由

（2）
考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.
20、（1）；（2）当时，解集为；当或时，解集为
【解析】
（1）当时，不等式是一个不含参的二次不等式，分解因式，即可求得；
（2）对参数进行分类讨论，从而确定不等式的解集.
【详解】
（1）当时，原不等式为
故其解集为
（2）令则方程两根为.
因为所以

①当即时，解集为；
②当即或时，解集为.
综上可得：①当即时，解集为；
②当即或时，解集为.
本题考查不含参二次不等式的求解，以及含参不等式的求解，属基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，
所以，即；
（2）因为，
所以.
于是，即为，
整理可得.
设，则.
令，解得，，
所以，，
故数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.