2025年上海市复旦中学数学高一下期末综合测试试题含解析.doc

2025年上海市复旦中学数学高一下期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．90。
3．如图，是的直观图，其中轴，轴，那么是（ ）

A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
4．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于

A． B． C． D．
5．已知三棱锥，侧棱两两垂直，且，则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：

显然与之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为 (　　)
A． B．
C． D．
7．在中，角，，的对边分别为，，，且.则（ ）
A． B．或 C． D．
8．若，则是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．已知向量，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
10．已知内角，，所对的边分别为，，且满足，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．终边经过点，则_____________
12．已知无穷等比数列的首项为，公比为，则其各项的和为__________．
13．已知，则的值是______.
14．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．
15．在中，角,,所对的边分别为，，，若的面积为，且,,成等差数列，则最小值为______．
16．数列中，，，，则的前2018项和为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.
（1）证明：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.
18．已知直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0（a∈R）.
（1）若l1与l2互相垂直，求a的值：
（2）若l1与l2相交且交点在第三象限，求a的取值范围.
19．已知数列的前项和．
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
20．不等式的解集为______.
21．已知
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证；;
(3)求使>0成立的x的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.
【详解】
由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，
则，解得，
由，解得，
所以.
故选：D
本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.
2、A
【解析】
根据两点间斜率公式,可求得斜率.再由斜率与倾斜角关系即可求得直线的倾斜角.
【详解】
直线过点
则直线的斜率
设倾斜角为,根据斜率与倾斜角关系可得
由直线倾斜角
可得
故选:A
本题考查了直线斜率的求法,斜率与倾斜角关系,属于基础题.
3、D
【解析】
利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出的形状．
【详解】
在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，
则在原图形中，轴，轴，所以，，因此，是直角三角形，
故选D．
本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题．
4、D
【解析】
在 中，
由正弦定理得，解得
在 中，
5、B
【解析】
根据三棱锥三条侧棱的关系，得到球与三棱锥的重叠部分为球的，然后利用球体的体积公式进行计算。
【详解】
三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，
以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的为球的，
即对应的体积为，故选：B。
本题主要考查球体体积公式的应用，解题的关键就是利用三棱锥与球的关系，考查空间想象能力，属于中等题。
6、D
【解析】
求出样本数据的中心，代入选项可得D是正确的.
【详解】
，所以这组数据的中心为，
对选项逐个验证，可知只有过样本点中心.
本题没有提供最小二乘法的公式，所以试题的意图不是考查公式计算，而是要考查回归直线过样本点中心这一概念.
7、A
【解析】
利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，求得的值，即而求得的大小.
【详解】
由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的内角，所以为正数，所以，为三角形的内角，所以.
故选：A
本小题主要考查正弦定理和余弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于基础题.
8、D
【解析】
先根据题中条件，结合正弦定理得到，求出角，同理求出角，进而可判断出结果.
【详解】
因为，
由正弦定理可得，
所以，即，因为角为三角形内角，所以；
同理，；所以，
因此，是等腰直角三角形.
故选D
本题主要考查判定三角形的形状问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
9、C
【解析】
根据向量数量积的坐标运算，得到答案.
【详解】
向量，，
所以.
故选：C.
本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.
10、A
【解析】
利用正弦定理以及和与差的正弦公式可得答案；
【详解】
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0
由atanA＝bcosC+ccosB，
根据正弦定理：可得sinA•tanA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA
∴•tanA＝1；
∴tanA，
那么A；
故选A．
本题考查三角形的正弦定理,,内角和定理以及和与差正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据正弦值的定义，求得正弦值.
【详解】
依题意.
故答案为：
本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题.
12、
【解析】
根据无穷等比数列求和公式求出等比数列的各项和.
【详解】
由题意可知，等比数列的各项和为，故答案为：.
本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
根据两角差的正切公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题
14、
【解析】
根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.
【详解】
设球内接正四棱柱的底面边长为，高为
则球的半径:

正四棱柱的侧面积：
球的表面积：
当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：
本题正确结果：
本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.
15、4
【解析】
先根据,,成等差数列得到，再根据余弦定理得到满足的等式关系，而由面积可得，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】
因为,,成等差数列，，故.
由余弦定理可得.
由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
所以即，当且仅当时等号成立.
故填4.
三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.
16、2
【解析】
直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．
【详解】
数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，
则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，
a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，
数列{an}的前2018项和为：
（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，
＝0+0+…+0+（a1+a2）
＝2．
故答案为：2
本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；
（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程．
【详解】
（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，
所以经过，又为中点，所以，所以
，所以的面积为定值.
（2因为直线与圆交于两点，，
所以的中垂线经过，且过，所以的方程，
所以，所以当时，有圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆交于点两点，故成立；
当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），
综上所述，圆的方程为.
本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力．解题注意几何条件的运用可以简化运算．
18、（1）a，或a＝1（2）a＞3
【解析】
（1）由题意利用两条直线互相垂直的性质，求得的值；
（2）联立方程组求出两条直线的交点坐标，再根据交点在第三象限，求出的取值范围.
【详解】
（1）∵直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0，l1与l2互相垂直，
∴a•（3﹣2a）+（﹣1）•1＝0，求得a，或a＝1.
（2）若l1与l2相交且交点在第三象限，联立方程组，
∵l1与l2相交，故a≠3，
求得方程组的解为，∴，求得a＞3.
本题主要考查两条直线互相垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题.
19、（1）；（2） .
【解析】
（1）根据和关系得到答案.
（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.
【详解】
解：（1）当时，
当时，
（2）

本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.
20、
【解析】
根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
【详解】
因为方程的根为：，，所以不等式的解集为.
故答案为：.
本题考查一元二次不等式的解法，考查对基础知识和基本技能的掌握，属于基础题.
21、（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析
【解析】
（1）解不等式即得函数的定义域；（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性并证明；（3）对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式.
【详解】
（1）由题得，所以，所以函数的定义域为；
（2）函数的定义域为，所以函数的定义域关于原点对称，
所以,
所以函数f(x)为奇函数.
(3)由题得，
当a＞1时，所以,因为函数的定义域为，
所以；
当0＜a＜1时，所以.
本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断和证明，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.