安徽省滁州市海亮外国语学校2025届高一下数学期末调研试题含解析.doc

安徽省滁州市海亮外国语学校2025届高一下数学期末调研试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．两数1，25的等差中项为（ ）
A．1 B．13 C．5 D．
2．已知在中，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
4．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角( )
A． B． C． D．
5．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．设向量 ＝（2，4）与向量 ＝（x，6）共线，则实数x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A．25 B．39 C．45 D．54
8．已知如图正方体中，为棱上异于其中点的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
9．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，且，则的值为______
12．函数的反函数为____________.
13．已知向量，，且，则_______．
14．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．
15．函数可由y=sin2x向左平移___________个单位得到．
16．已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l的方程为.
(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；
(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.
18．已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．
19．已知各项为正数的数列满足且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
20．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
21．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
直接利用等差中项的公式求解.
【详解】
由题得两数1，25的等差中项为.
故选：B
本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2、A
【解析】
，不妨设，,
则 ，选A.
3、C
【解析】
利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.
【详解】
由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.
本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.
4、A
【解析】
根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得.
【详解】
由已知可得： ，得 ，
设向量与的夹角为 ，则
所以向量与的夹角为
故选A.
本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.
5、A
【解析】
连结，结合几何体的特征，直接求解 与所成角的余弦值即可．
详解】
如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，
连结，则与所成角就是中的，
所以与所成角的余弦值为：＝＝．
故选A．

本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．
6、B
【解析】
由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B
考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
7、A
【解析】
设等差数列的公差为，从而根据，即可求出，这样根据等差数列的前项和公式即可求出．
【详解】
解：设等差数列的公差为，
则由，得：
，
，
，
故选：A．
本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，属于基础题．
8、C
【解析】
根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.
【详解】
因为在正方体中，，且平面，平面，
所以平面，因为平面，且平面平面，
所以有，而，则与不平行，故选项不正确；
若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确；
若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；
而因为平面，平面，
所以有平面，所以选项C正确，.
本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.
9、B
【解析】
试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：

当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．
考点：线性规划问题．
10、B
【解析】
根据不等式性质确定选项.
【详解】
当时，不成立；
因为，所以；
当时，不成立；
当时，不成立；
所以选B.
本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-7
【解析】
，利用列方程求解即可.
【详解】
，且，
，解得：.
考查向量加法、数量积的坐标运算.
12、
【解析】
首先求出在区间的值域，再由表示的含义，得到所求函数的反函数.
【详解】
因为，
所以，.
所以的反函数是.
故答案为：
本题主要考查反函数定义，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题.
13、-2或3
【解析】
用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.
【详解】
由题意得：
或
本题正确结果：或
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14、.
【解析】
设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】
设，，，
，
整理得，又点在直线，
直线与圆共公共点，
圆心到直线的距离，
即.
故答案为:.
本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
15、
【解析
将转化为，再利用平移公式得到答案.
【详解】

向左平移
故答案为
本题考查三角函数图像的平移，将正弦函数化为余弦函数是解题的关键，也可以将余弦函数化为正弦函数求解.
16、
【解析】
设等比数列的公比为，由可求出的值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，
故答案为：.
本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）1
【解析】
(1)与l垂直的直线方程可设为 ，再将点 代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线l的距离．
【详解】
解：(1)设与直线垂直的直线方程为,把代入，得，解得,
∴所求直线方程为.
(2)解方程组得∴直线与的交点为,点到直线的距离.
本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式．
18、（1）；（2）．
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.
【详解】
（1）
的最小正周期：
（2）由得：，即
，，解得：，

由得：

即：
若，即时，
则：
若，则
由正弦定理可得：
由余弦定理得：
解得：

综上所述，的面积为：
本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.
19、（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以

由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以

所以
不等式得证.
本题考查了数列递推公式的应用，由定义证明等差数列，换元法及放缩法在证明不等式中的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）1
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为1．
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
21、（1）；（2）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以

．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．