2025届银川第二中学数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025届银川第二中学数学高一第二学期期末联考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，∥则（ ）
A．6 B． C．-6 D．
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，己知A=60°，，则B=（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对
3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．已知数列的前项和为，若，则（）
A． B． C． D．
5．一个不透明袋中装有大小､质地完成相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列(如：､､成等差数列，满足)的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是 （ ）

A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值 D．直线和平面所成的角为定值
7．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )
A．9 B．1 C．4 D．10
9．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．函数与的图象均关于直线对称
C．函数与的图象均关于点对称
D．函数与在区间上均单调递增
10．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为

A．； B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，若，则____________.
12．已知角的终边经过点，若，则______.
13．数列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），则称为的一个“谷值”。若且存在“谷值”则实数的取值范围是__________．
14．在等差数列中，若，则______．
15．设（）则数列的各项和为________
16．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
18．研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是
19．设，求函数的最小值为__________．
20．已知函数
(1)若关于的不等式的解集为,求的值;
(2)若对任意恒成立,求的取值范围.
21．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据向量平行（共线），它们的坐标满足的关系式，求出的值.
【详解】
，且，
，
解得，故选A.
利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
2、A
【解析】
利用正弦定理求出的值，再结合，得出，从而可得出的值。
【详解】
由正弦定理得，，
，则，所以，，故选：A。
本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。
3、D
【解析】
试题分析：，知偶函数，，知非奇非偶，知偶函数，，知奇函数.
考点：函数奇偶性定义.
4、A
【解析】
再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.
【详解】
因为，所以当时，，两式相减化简得：，而，所以数列是以
为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选A.
本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.
5、B
【解析】
用列举法写出所有基本事件，确定成等差数列含有的基本事件，计数后可得概率．
【详解】
任取3球，结果有234,236,246,346共4种，其中234，246是成等差数列的2个基本事件，
∴所求概率为．
故选：B．
本题考查古典概型，解题时可用列举法列出所有的基本事件．
6、D
【解析】
结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解.
【详解】
，在棱长为的正方体中，点在线段上运动
易得平面，
平面，
，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确
，直线和平面平行，所以直线和平面平行，故正确
，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面且大小一定，
，而平面
点到平面的距离即为点到该平面的距离，
三棱锥的体积为定值，故正确
，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误
故选
本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换．
7、A
【解析】
将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.
【详解】
由得：
当时，成立 必为不等式的一个整数解
当时，不成立 不是不等式的整数解
个整数解分别为：
当时，，不满足题意
当时，解不等式得：或
不等式不可能只有个整数解，不满足题意
当时，
，解得：，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.
8、A
【解析】
将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值
【详解】
将点的坐标代入直线方程：，
，当且仅当时取等号
已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。
9、D
【解析】
由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.
【详解】
解：由函数的部分图象可得,,即,则，
又函数图像过点 ，则，
即，
又即，
即，则
对于选项A，显然错误；
对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；
对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；
对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，
又，，即D正确，
故选：D.
本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.
10、A
【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】
本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】
根据正弦定理角化边可得答案.
【详解】
由正弦定理可得.
故答案为：2
本题考查了正弦定理角化边，属于基础题.
12、
【解析】
利用三角函数的定义可求.
【详解】
由三角函数的定义可得，
故.
故答案为：.
本题考查三角函数的定义，注意根据正弦的定义构建关于的方程，本题属于基础题.
13、
【解析】
求出,,,当,递减,递增,分别讨论,,是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.
【详解】
解：当时,有,,
当,递减,递增,且.
若时,有,则不存在“谷值”；
若时,,则不存在“谷值”；
若时,①,则不存在"谷值"；
②,则不存在"谷值"；
③,存在"谷值"且为.
综上所述,的取值范围是
故答案为：
本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题.
14、
【解析】
利用等差中项的性质可求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，解得.
故答案为：.
本题考查利用等差中项的性质求项的值，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案.
【详解】

由题意，数列的通项公式为，且，
所以数列的各项和为.
故答案为：.
本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.
【详解】
根据题意,不妨设,,则,
因,所以,
设,由,得,
又,所以,
故由余弦定理可得,
即,
整理得:,即,所以,
所以,
所以,
故答案为:.

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
18、（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；
（2）利用五点法作函数的图象即可；
（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.
【详解】
（1）单调递增区间为，
所以单调递增区间的表达式为
（2）列表：

描点，连线，可得函数图象如下：

（3）证明：，
假设存在，使得，即，
令，则，即；
再令，可得，得到矛盾，
综上可知的最小正周期是.
本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.
19、9
【解析】
试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.

试题解析：由得，则
当且仅当时，上式取“=”，所以.
考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.
20、（1）；（2）
【解析】
(1) 不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；
（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；
法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.
【详解】
（1）法一：不等式可化为，其解集为，
由根与系数的关系可知，
解得，经检验时满足题意.
法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，
将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.
（2）法一：由题意可知恒成立，
①若，则恒成立，符合题意。
②若，则恒成立，而，
当且仅当时取等号，所以，即.
故实数的取值范围为.
法二：二次函数的对称轴为.
① 若，即，函数在上单调递增，恒成立，
故；
②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
由得.
故；
③若，即，此时函数在上单调递减，
由得，与矛盾，故不存在.
综上所述，实数的取值范围为.
本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.
21、（1），；（2），
【解析】
（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式即可得解；
（2）解三角不等式即可得解.
【详解】
解：解：（1）令，，
解得，，
故的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，即，
所以，，
解得，.
故不等式的解集为，.
本题考查了余弦函数单调区间的求法，重点考查了三角不等式的解法，属基础题.