山西省太原市外国语学校2024-2025学年高一下数学期末检测模拟试题含解析.doc

山西省太原市外国语学校2024-2025学年高一下数学期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线与平行，则的值为( )
A． B．或 C．0 D．－2或0
2．( ).
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
4．已知数列的通项公式是，则该数列的第五项是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，取值如下表：

0
1
4
5
6

1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则m的值(精确到0.1)为()
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
8．下列命题中正确的是（ ）
A．相等的角终边必相同 B．终边相同的角必相等
C．终边落在第一象限的角必是锐角 D．不相等的角其终边必不相同
9．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
10．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= （a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，成等比数列，且，则________.
12．将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
13．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.
14．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.
15．已知，为锐角，且，则__________．
16．甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，正方体棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥，求：

（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积.
18．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG
19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，点，分别是，的中点．

求证：（1）直线∥平面；
（2）平面平面．
20．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
21．已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m=1．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：y=x﹣m与圆C相切，求m的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.
【详解】
若直线与平行,
则,
解得或,
又时,直线与表示同一条直线,
故,
故选A.
本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.
2、D
【解析】
运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】
,
故本题选D.
本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.
3、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.
4、A
【解析】
代入即可得结果.
【详解】
解：由已知，
故选：A.
本题考查数列的项和项数之间的关系，是基础题.
5、D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
6、D
【解析】
首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以.
因为，，所以，
所以 ，
故选D.
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.
7、C
【解析】
根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】
由题意，根据表格中的数据，可得，
，即样本中心为，
代入回归直线方程，即，解得，故选C.
本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
根据终边相同的角的的概念可得正确的选项.
【详解】
终边相同的角满足，故B、D错误，
终边落在第一象限的角可能是负角，故C错误，
相等的角的终边必定相同，故A正确.
故选：A.
本题考查终边相同的角，注意终边相同时，有，本题属于基础题.
9、C
【解析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
【详解】
向左平移个单位得：
将横坐标缩短为原来的得：
本题正确选项：
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.
10、C
【解析】
在验证时，左端计算所得的项，把代入等式左边即可得到答案.
【详解】
解：用数学归纳法证明，
在验证时，把当代入，左端.
故选：C.
此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
A,B,C是三角形内角，那么，代入等式中，进行化简可得角A,C的关系，再由，，成等比数列，根据正弦定理，将边的关系转化为角的关系，两式相减可得关于的方程，解方程即得．
【详解】
因为，所以，所以.因为，，成等比数列，所以，所以，则，整理得，解得.
本题考查正弦定理和等比数列运用，有一定的综合性．
12、
【解析】
解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
∵长方体的对角线的长为：，
∴球的直径是，半径为，
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π5π．
故答案为5π
考点：外接球.
13、
【解析】
根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.
【详解】
因为，所以，所以，又因为，所以，则，
故，又因为是奇函数，
所以，则.
（1）形如的函数是周期函数，周期；
（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.
14、
【解析】
依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。
【详解】
由题意有，即，因为，
所以。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。
15、
【解析】
由题意求得，再利用两角和的正切公式求得的值，可得 的值．
【详解】
，为锐角，且，即，
．
再结合，则，
故答案为．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
16、
【解析】
根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.
【详解】
假设经过小时两船相距最近，甲、乙分别行至，，
如图所示，可知，，，
．
当小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为．

本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求出三棱锥的棱长为即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）利用割补法，即可求出三棱锥的体积.
试题解析：（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，∴三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为
（2）三棱锥的体积为
18、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示

（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
（Ⅲ）连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）取中点，连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得直线∥平面；
（2）利用线面垂直的判定定理，证得，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．
【详解】
（1）取中点，连接，．
在中，，分别为，中点，则且，
又四边形为矩形，为中点，且，
所以，故四边形为平行四边形，
从而，又，，
所以直线．
（2）因为矩形，所以，又平面，
面，，所以，
又，则，又，，
所以，又，所以平面平面．

本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20、（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好
【解析】
试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
试题解析：
(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2，
＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．
(2)＝×[(82－83. 2)2＋(1－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，
＝ [(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13. 2，
则s甲＝≈5. 13，s乙＝≈3. 2．
(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好
【点睛】怎样求样本的平均数，n个数的平均数等于这n个数的和除以n；比较平均数的大小可以看出两个样本平均水平的高低，怎样求样本的方差，就是求这n个数与平均数的差的平方方和再除以n；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
21、（1）当m＜2时，曲线C表示圆（2）m=±3
【解析】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=1，
得（x+1）2+（y+2）2=2﹣m，
由2﹣m＞1，得m＜2．
∴当m＜2时，曲线C表示圆；
（2）圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为．
∵直线l：y=x﹣m与圆C相切，
∴，
解得：m=±3，满足m＜2．
∴m=±3．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．