2025年浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
2．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（ ）.

A． B．
C． D．
4．直线，，的斜率分别为，，，如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
5．设直线系．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
6．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．在中，，点P是直线BN上一点，若，则实数m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）
A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．2
10．在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．
12．数列的通项，前项和为，则____________．
13．设当时，函数取得最大值，则______.
14．下边程序执行后输出的结果是（ ）．

15．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则______.（精确到）（参考数据）
16．在等比数列中，，，则______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足，令
（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
19．已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知.
（1）当时，解不等式；
（2）若，解关于x的不等式.
21．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，求△ABC的面积的最大值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
两圆外切时，有三条公切线．
【详解】
圆标准方程为，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴，．
故选C．
本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．
2、C
【解析】
利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.
【详解】
由正弦定理得，则，
，则，所以，，由三角形的内角和定理得，
故选：C.
本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.
3、C
【解析】
试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期，∴
∴，
又，是五点法中的第一个点，∴，∴
把A,B排除，
对于C：，故选C
考点：本题考查函数的图象和性质
点评：解决本题的关键是确定的值
4、A
【解析】
根据题意可得出直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系得出结果.
【详解】
解：设三条直线的倾斜角为，
根据三条直线的图形可得，
因为，
当时，，
当时，单调递增，且，
故，
即
故选A.
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性.
5、D
【解析】
对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解
【详解】
因为
所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, A正确
也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确
也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确
故正确
因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等,

故错误，答案选D.
本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.
6、A
【解析】
由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.
【详解】
因为且，
根据向量加法的平行四边形运算法则，
所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），
因为在中，，
所以由余弦定理得： ，
所以，
即，
解得：，
，
所以 .
设的内切圆的半径为 ，
所以
所以.
所以.
所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.
故选：A
本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
7、B
【解析】
将,分别代入中,整理可得,即可得到,进而得到结论
【详解】
由题可得,即
在中,,
,
即

又,

是直角三角形,
故选B
本题考查三角形形状的判定,考查和角公式,考查已知三角函数值求角
8、B
【解析】
根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，即可得到的值.
【详解】
在中，，点是直线上一点，
所以，
又三点共线，所以，即.
故选：B.
本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.
9、A
【解析】

【详解】
，选A.
本题考查由两直线平行求参数.
10、C
【解析】
根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.
【详解】
如图：

因为，
所以，
故选C.
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】
依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
12、7
【解析】
根据数列的通项公式，求得数列的周期为4，利用规律计算，即可求解．
【详解】
由题意，数列的通项，
可得，
，得到数列是以4项为周期的形式，
所以
=．
故答案为：7.
本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式求得数列的周期，以及各项的变化规律是解答的关键，属于基础题，着重考查了．
13、；
【解析】
f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
14、15
【解析】
试题分析：程序执行中的数据变化如下：
，输出
考点：程序语句
15、
【解析
根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，结合题意可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，
则有，
即，
解可得：，
故答案为：．
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于的方程，属于基础题．
16、1
【解析】
根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可．
【详解】
∵a1＝1，a5＝4
∴公比
∴
∴该等比数列的通项公式a3＝11＝1
故答案为：1．
本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得
，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴．
又，
∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，
∴．
（2）当为正偶数时，

．
当为正奇数时，

．
∴．
（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．
（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．
18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，

连结DF，则BC1∥DF． 3分
因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
19、（1），，；（2），.
【解析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】
（1）数列公比为，则，∵，∴，
∴，
的公差为，首项是，
则，，
∴，解得．
∴．
（2），数列的前项和记为，
，①
，②
①－②得：
，
∴．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
20、（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；
（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．
【详解】
解：（1）当时，有不等式，
，
∴不等式的解集为或
（2）∵不等式
又
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．
21、 (1) , (2)
【解析】
（1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简,，然后根据单调区间对应的的公式求解单调区间；（2）根据计算出的值，再利用余弦定理计算出的最大值则可求面积的最大值，注意不等式取等号条件.
【详解】
解:（1）

∴函数的单调递增区间为,
（2）由（1）知得（舍）或
∴有余弦定理得
即
∴当且仅当时取等号
∴
（1）辅助角公式：；
（2）三角形中，已知一边及其对应角时，若要求解面积最大值，在未给定三角形形状时，可选用余弦定理求解更方便，若是给定三角形形状，这时选用正弦定理并需要对角的范围作出判断.