南宁市重点中学2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

南宁市重点中学2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知数列满足，，则数列的前5项和（ ）
A．15 B．28 C．45 D．66
3．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．3
4．如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则与之间的回归直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．函数的定义域是（ ）．
A． B． C． D．
8．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
① ②与成角
③与为异面直线 ④
以上四个命题中，正确的序号是 （ ）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
10．利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand()表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于 ( )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图象过定点______.
12．已知直线过点，，则直线的倾斜角为______.
13．如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则______，_________.

14．在正数数列中，，且点在直线上，则前项和等于__．
15．已知，，，则的最小值为________．
16．已知满足约束条件，则的最大值为__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）求在方向上的投影.
18．眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.
（1）证明：；
（2）设，求点到面的距离.

20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
21．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.
【详解】

①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；
②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；
③若直线满足，则，是真命题；
④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.
故答案为B
本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.
【详解】
因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.
故.
故选：C
本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.
3、A
【解析】
首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【详解】
解：根据几何体得三视图转换为几何体为：

故：V．
故选：A．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4、B
【解析】
求出样本数据的中心，依次代入选项中的回归方程.
【详解】
，
样本数据的中心为，将它依次代四个选项，只有B符合，
与之间的回归直线方程是.
本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.
5、B
【解析】
利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】
设三件正品分别记为，一件次品记为
则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种
所以产品全是正品的概率
故选：B
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.
6、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.
7、C
【解析】
函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则
故得到定义域为 .
故选C.
8、D
【解析】
圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
，因为，所以，
因此直线的方程为，故本题选D.
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.
9、D
【解析】

由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；  ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；
④易证，故，正确；故选D．
10、B
【解析】
根据程序框图可知由几何概型计算出x，y任取（0，1）上的数时落在 内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．
【详解】
解:根据程序框图可知为频率，它趋近于在边长为1的正方形中
随机取一点落在扇形内的的概率

故选：B
本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据两点求斜率的公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.
【详解】
依题意，故直线的倾斜角为.
本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
13、3. 5.
【解析】
根据茎叶图,将两组数据按照从小到大顺序排列,由中位数和平均数相等,即可解得的值.
【详解】
甲乙两组数据的中位数相等,平均数也相等
对于甲组将数据按照从小到大顺序排列后可知,中位数为65.所以乙组中位数也为65.根据乙组数据可得
则由两组的平均数相等,可知两组的总数也相等,即
解得
故答案为: ;
本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图求中位数和平均数,属于基础题.
14、
【解析】
在正数数列中，由点在直线上，知，所以，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n项和，得到答案．
【详解】
由题意，在正数数列中，，且在直线上，
可得，所以，
即，
因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
故答案为．
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15、1
【解析】
由题意整体代入可得，由基本不等式可得．
【详解】
由，，，
则．
当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．
16、
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件 作出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
所以有最大值为．
故答案为1．

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；
（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.
【详解】
（1），，，
，，，解得；
（2），，
在方向上的投影.

本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.
18、 (1)0分概率；2分概率；(2)
【解析】
（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.
【详解】
（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；
事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则，
甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，
则．
本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n次独立事件中恰有k次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.
19、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般用到线面垂直的性质定理，即先要证线面垂直，首先由已知底面.知，因此要证平面，从而只要证，这在中可证Ⅱ）要求点到平面的距离，可过点作平面的垂线，由（Ⅰ）的证明，可得平面，从而有平面，因此平面平面，因此只要过作于，则就是的要作的垂线，线段的长就是所要求的距离．
试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，
由余弦定理得.
从而，∴，
又由底面，面，可得.
所以平面.故.
（Ⅱ）解：作，垂足为.
已知底面，则，
由（Ⅰ）知，又，所以.
故平面，.
则平面.
由题设知，，则，，
根据，得，
即点到面的距离为.
考点：线面垂直的判定与性质．点到平面的距离．
20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性质推出，即可推出平面从而得到；（Ⅱ）作，交的延长线于，连接则二面角的平面角是，由已知条件求出AD，进而求出AE、PD，即可求得.
【详解】
（Ⅰ）证明：连接，
∵底面，底面,∴.
∵四边形是菱形，∴.
又∵，平面，平面，
∴平面，
∴.
（Ⅱ）作，交的延长线于，连接.
由于，于是平面，

平面，，
所以二面角的平面角是.
设“”，
且底面是菱形，
，
，，
∴.
本题考查线面垂直、线线垂直的证明，二面角的余弦值，属于中档题.
21、（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用和角公式及降次公式对f（x）进行化简，得到f（x）=，代入周期公式即可；
（2）由x的范围求出ωx+φ的范围，结合正弦函数单调性得出最值和相应的x．
试题解析：
（1）
，
，
，
，
，
所以的最小正周期为.
（2）∵，∴，
当，即时，；
当，即时，.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.