云南省大理州2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

云南省大理州2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在正四棱锥中，，侧面积为，则它的体积为（ ）

A．4 B．8 C． D．
2．从总数为的一批零件中抽取一个容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，在上存在最小值的是( )
A． B． C． D．
5．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是26；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月2日到10月6日认购量的分散程度比成交量的分散程度更大.则上述判断错误的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．3球以下（含3球）的人数为10
B．4球以下（含4球）的人数为17
C．5球以下（含5球）的人数无法确定
D．5球的人数和6球的人数一样多
7．设,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，给出下列命题:
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等.
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
8．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（ ）

A． B． C． D．
9．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是

A．60 B．55 C．45 D．50
10．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在边长为2的菱形中，，是对角线与的交点，若点是线段上的动点，且点关于点的对称点为，则的最小值为______.
12．已知直线与直线互相平行，则______.
13．设，若用含的形式表示，则________.
14．已知向量，，则的最大值为_______.
15．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．
16．若圆:与圆:相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则公共弦的长度是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，不是共线向量，，，
（1）判断，是否共线；
（2）若，求的值
18．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱维中，底面.

(1)从三棱锥中选择合适的两条棱填空_________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”;
(2)如图，已知垂足为，垂足为.
(i)证明:平面⊥平面;
(ii)作出平面与平面的交线,并证明是二面角的平面角.(在图中体现作图过程不必写出画法)
19．在 中，内角 的对边分别为，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 边上的高.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
21．已知的内角的对边分别为，若向量，且.
（1）求角的值；
（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
连交于，连，根据正四棱锥的定义可得平面，取中点，连，则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.
【详解】
连交于，连，取中点，连
因为正四棱锥，则平面，，
侧面积，
在中，，
.
故选:A.

本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题.
2、A
【解析】
由样本容量、总容量以及个体入样可能性三者之间的关系，列等式求出的值.
【详解】
由题意可得，解得，故选A.
本题考查抽样概念的理解，了解样本容量、总体容量以及个体入样可能性三者之间的关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3、B
【解析】
由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．
【详解】
因为，
当时，得；
当，且 时，，不满足上式，
∴，所以，
当时，；
当是偶数时，为整数，则，所以；
故对于任意正整数，均有：

因为，
所以

．
因为为偶数，所以，
而，
所以.
故选：B．
本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和的推导，本题属于难题．
4、A
【解析】
结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，当时，取得最小值，满足题意；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以B不正确；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以C不正确；
函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，
所以D不正确.
故选：A.
本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中熟记基本初等函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
将国庆七天认购量和成交量从小到大排列,即可判断①;计算成交量的平均值,可由成交量数据判断②;由图可判断③;计算认购量的平均值与方差,成交量的平均值与方差,对方差比较即可判断④.
【详解】
国庆七天认购量从小到大依次为:91,100,105,107,112,223,276
成交量从小到大依次为:8,13,16,26,32,38,166
对于①,成交量的中为数为26,所以①正确;
对于②,成交量的平均值为,有1天成交量超过平均值,所以②错误;
对于③,由图可知认购量与日期没有正相关性,所以③错误;
对于④, 10月2日到10月6日认购量的平均值为
方差为

10月2日到10月6日成交量的平均值为
方差为

所以由方差性质可知, 10月2日到10月6日认购量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④错误;
综上可知,错误的为②③④
故选:B
本题考查了统计的基本内容,由图示分析计算各个量,利用方差比较数据集中程度,属于基础题.
6、D
【解析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7、D
【解析】
根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知②④正确.
【详解】
对于①，若，，或，故①错；
对于②，过作一个平面，它与平面交于，则，因为，故，

因为，故，故②成立；
对于③，由面面垂直的性质定理可知前提条件缺少，故③错；
对于④，如图所示，如果分别于平面斜交，且斜足分别为，
在直线上分别截取斜线段、，使得，
过分别作平面的垂线，垂足分别为，连接，
则分别为与平面所成的角、与平面所成的角，
因为，故，所以，故.
当分别垂直于时，；
当分别平行于时，；
故与所成的角和与所成的角相等，故④正确.
故选D.

本题考查空间中的点、线、面的位置关系，正确判断这些命题的真假的前提是熟悉公理、定理的前提条件，同时需要动态考虑它们的位置关系，观察是否有不同的情况出现.
8、B
【解析】
分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.
【详解】
由图形可知，小正方形边长为
小正方形面积为：，又大正方形面积为：
，即：
解得：
本题正确选项：
本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.
9、D
【解析】
分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率，从而可得结果.
详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率为，
所以测试成绩落在中的人数为，，故选D.
点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.
10、D
【解析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.
故选:D.
本小题主要考查类似已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-6
【解析】
由题意，然后结合向量共线及数量积运算可得，再将已知条件代入求解即可.
【详解】
解：菱形的对称性知，在线段上，且，
设，
则，
所以
，
又因为，
当时，取得最小值-6.
故答案为：-6.
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.
12、
【解析】
由两直线平行得，，解出值.
【详解】
由直线与直线互相平行，得，
解得.
故答案为：.
本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题.
13、
【解析】
两边取以5为底的对数，可得，化简可得，根据对数运算即可求出结果.
【详解】
因为
所以两边取以5为底的对数，可得，
即，
所以，
，
故填.
本题主要考查了对数的运算法则，属于中档题.
14、.
【解析】
计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.
【详解】
，，，
所以，，
当且仅当，即当，等号成立，
因此，的最大值为，故答案为.
本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15、192
【解析】
设每天走的路程里数为
由题意知是公比为的等比数列
∵
∴
∴
故答案为
16、
【解析】
根据两圆在点处的切线互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后两圆相减求出公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，进而求出公共弦长.
【详解】
由题意，圆圆心坐标，半径，
圆圆心坐标,半径，
因为两圆相交于点，且两圆在点处的切线互相垂直，
所以是直角三角形，，所以，
由两点间距离公式，，
所以，解得，
所以圆：，
两圆方程相减，得，即，
所以公共弦：，
圆心到公共弦的距离，
故公共弦长
故答案为：
本题主要考查两圆公共弦的方程、圆弦长的求法和点到直线的距离公式，考查学生的分析能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）与不共线.（2）
【解析】
（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.
【详解】
解：（1）若与共线，由题知为非零向量，
则有，即，
∴得到且，
∴不存在，即与不平行.
（2）∵，则，即，
即，解得.
本小题主要考查判断两个向量是否共线，考查根据两个向量平行求参数，属于基础题.
18、（1）或或或.（2）(i) 见证明；(ii)见解析
解析】
（1）根据已知填或或或均可；（2）(i)先证明平面，再证明平面⊥平面;(ii) 在平面中，记，，连结，则为所求的.再证明是二面角的平面角.
【详解】
（1）或或或.
（2）（i）在三棱锥中，，，，
所以平面，
又平面，所以，
又,，所以平面.
又平面，所以，
因为且，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（ii）

在平面中，记，连结，则为所求的.
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面.
又平面且平面，所以，.
所以就是二面角的一个平面角.
本题主要考查空间线面位置关系，面面角的作图及证明，属于中档题．
19、（1）见解析（2）
【解析】
分析：(1)由，结合正弦定理可得，即；
（2）由，结合余弦定理可得，从而可求得 边上的高.
详解：（1）证明：因为，
所以 ，
所以 ，
故.
(2)解：因为，
所以.
又，所以，解得，
所以，
所以边上的高为.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20、（1 （2）最大值为2，最小值为
【解析】
(1)先将函数化简为，根据公式求最小正周期.
(2)由，则，可求出函数的最值.
【详解】
(1)

所以的最小正周期为：.
（2）由（1）有
，则
则当，即时，有最小值 .
当即，时，有最大值2.
所以在区间上的最大值为2，最小值为．
本题考查三角函数化简、求最小正周期和函数在闭区间上的最值，属于中档题.
21、 (1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.
试题解析：
（1）由，得.
由正弦定理，
得，
即.
在中，由，
得.
又，所以.
（2）根据题意，得.
由余弦定理，
得，
即，
整理得，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为4.
又，所以，
所以.
所以的周长的取值范围为.