广西壮族自治区百色市广西田阳高中2025届高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

广西壮族自治区百色市广西田阳高中2025届高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知平面向量与的夹角为，且，则（）
A． B． C． D．
2．已知随机变量服从正态分布，且，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．已知为等差数列，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
4．在中，已知，，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
5．若，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
7．已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
8．在中，，，其面积为，则等于( )
A． B． C． D．
9．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数，的反函数为__________．
12．已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝____．
13．若，方程的解为______.
14．在平面直角坐标系中，点在第二象限，，，则向量的坐标为________.
15．设向量，定义一种向量积：.已知向量，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的单调增区间为________.
16．当实数a变化时，点到直线的距离的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．

组号

分组

回答正确
的人数

回答正确的人数
占本组的概率

第1组

5

0.5

第2组

0.9

第3组

27

第4组

0.36

第5组

3

(Ⅰ) 分别求出的值；
(Ⅱ) 从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
18．在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
19．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且，，求边的长.
20．已知分别是锐角三个内角的对边，且，且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求面积的最大值；
21．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；
（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据平面向量数量积的运算法则，将平方运算可得结果．
【详解】
∵，∴，
∴cos=4，∴，
故选A.
本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目．
2、B
【解析】

随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由
，可知，所以，故选B.
3、D
【解析】
根据等差数列下标和性质，即可求解.
【详解】
因为为等差数列，故
解得.
故选：D.
本题考查等差数列下标和性质，属基础题.
4、A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5、B
【解析】
直接用均值不等式求最小值.
【详解】

当且仅当,即时，取等号
故选：B
本题考查利用均值不等式求函数最小值,属于基础题.
6、A
【解析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,,则

所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
7、B
【解析】
先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应
的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】
满足约束条件的平面区域如下图所示：
作直线
把直线向上平移可得过点时最小
当，时，取最大值 1，
故答案为 1．

本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最
优解点的坐标是解答本题的关键．
8、A
【解析】
先由三角形面积公式求出，再由余弦定理得到，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】
因为在中，，，其面积为，
所以，因此，
所以，
所以，
由正弦定理可得：，
所以.
故选A
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.
9、B
【解析】
根据圆的标准方程形式直接确定出圆心和半径.
【详解】
因为圆的方程为：，所以圆心为，半径，
故选：B.
本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为，其中圆心是，半径是.
10、D
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.
【详解】
因为，所以，则反函数为：且.
本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.
12、3
【解析】
由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.
13、
【解析】
运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．
【详解】
由，即，
因，解得，即.
故答案：.
本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题
14、
【解析】
由三角函数的定义求出点的坐标，然后求向量的坐标.
【详解】
设点，由三角函数的定义有
，得，
，得，
所以，
所以
故答案为：
本题考查三角函数的定义的应用和已知点的坐标求向量坐标，属于基础题.
15、
【解析】
设，，由求出的关系，用表示，并把代入即得，后利用余弦函数的单调性可得增区间．
【详解】
设，，由得：
，∴，，
∵，∴，，即，
令，得，
∴增区间为．
故答案为：．
本题考查新定义，正确理解新定义运算是解题关键．考查三角函数的单调性．利用新定义建立新老图象间点的联系，求出新函数的解析式，结合余弦函数性质求得增区间．
16
【解析】
由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【详解】
由直线，得，
联立，解得．
直线恒过定点，
到直线的最大距离．
故答案为：．
本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ；(Ⅱ)第2组抽人；第3组抽3人；第4组抽1人；（III）.
【解析】
(Ⅰ)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为,再结合频率分布直方图可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,
(Ⅱ)第2,3,4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为:第2组:人, 第3组:人, 第4组:人．
(Ⅲ)设第2组的2人为、,第3组的3人为、、,第4组的1人为,则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件,其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．
∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
本题考查分层抽样方法、统计基础知识与等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件数的准确性．
18、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出的值，结合角的范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理得出，由三角形的面积公式，代入数据得出，将该等式代入等式可解出边的长.
【详解】
（1）由及正弦定理，
可得，即，
由可得，所以，
因为，，所以，，；
（2）由于，由余弦定理得，
又因为，所以的面积，
把，，代入得，所以，解得．
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了余弦定理和三角形面积公式来解三角形，解题时要根据题中相关条件列方程组进行求解，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，既有，由余弦定理得，.
（Ⅱ），即，当且仅当时等号成立，
当时，,
所以的最大值为.
21、（1）（2）100
【解析】
（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.
（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.
【详解】
（1）根据题意
当时， ，
当时， ，
综上： .
（2）由（1）知，
当时， ，
当 时，的最大值为950万.
当时， ，
当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.
综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.
本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.