2025届云南省永仁县一中数学高一第二学期期末考试试题含解析.doc

2025届云南省永仁县一中数学高一第二学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是( )

A． B． C． D．
2．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，若则，的值是（）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，在正四棱锥中，，侧面积为，则它的体积为（ ）

A．4 B．8 C． D．
5．已知在中，，则的形状是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．已知是第二象限角，且，则的值为
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和，那么（ ）
A．此数列一定是等差数列 B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列 D．以上说法都不正确
8．在正方体中，分别是线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与平行 D．与平行
9．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（ ）.

A． B．
C． D．
10．在中，分别是角的对边，,则角为( )
A． B． C． D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________

12．已知直线，圆O：上到直线的距离等于2的点有________个。
13．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
14．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．

15．某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____
16．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若是各项均为正数的数列的前项和，且．
（1）求，的值；
（2）设，求数列的前项和．
18．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.
（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
19．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
20．已知．
（I）若函数有三个零点，求实数的值；
（II）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
21．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；
（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由给定的几何体的三视图得到该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，结合圆柱的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意根据给定的几何体的三视图可得：该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，所以该半圆柱的体积为.
故选：C.
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
2、A
【解析】

,
则

,当且仅当取等号.
所以选项是正确的.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
3、B
【解析】
由向量相等的充要条件可得：，列出方程组，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，向量，，，
又因为，所以，
所以，解得，故选B．
本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4、A
【解析】
连交于，连，根据正四棱锥的定义可得平面，取中点，连则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.
【详解】
连交于，连，取中点，连
因为正四棱锥，则平面，，
侧面积，
在中，，
.
故选:A.

本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题.
5、D
【解析】
利用正弦定理可将已知中的等号两边的“边”转化为它所对角的正弦，再利用余弦定理化简即得该三角形的形状．
【详解】
根据正弦定理，原式可变形为：

所以
整理得
．
故选．
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6、B
【解析】
试题分析：因为是第二象限角，且，所以．
考点：两角和的正切公式．
7、D
【解析】
利用即可求得：，当时， 或，
对赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.
【详解】
因为 ，
当时， ，解得，
当时， ，整理有，
，所以 或
若时，满足，
时，满足，
可得数列：1，3,-3，…
此数列既不是等差数列，也不是等比数列
故选D
本题主要考查利用与的关系求，以及等差等比数列的判定．
8、D
【解析】
利用数形结合，逐一判断，可得结果.
【详解】
如图

由分别是线段的中点
所以//
A选项正确，
因为，所以
B选项正确，
由，所以
C选项正确

D选项错误，
由//，而与相交，
所以可知，异面
故选：D
本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题.
9、C
【解析】
试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期，∴
∴，
又，是五点法中的第一个点，∴，∴
把A,B排除，
对于C：，故选C
考点：本题考查函数的图象和性质
点评：解决本题的关键是确定的值
10、D
【解析】
由正弦定理，可得，即可求解的大小，得到答案．
【详解】
在中，因为，
由正弦定理，可得，
又由，且，所以或，故选D．
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练利用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.
【详解】
作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.

本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.
12、3；
【解析】
根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.
【详解】
由圆的方程可知，圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离：

如上图所示，此时，
则到直线距离为的点有：，共个
本题正确结果：
本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数.
13、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】
根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.
【详解】
由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人
岁以下有研究生学历的教师人数为：人
岁以下有研究生学历的教师的百分比为：
本题正确结果：
本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.
15、
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。
【详解】
设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人
由分层抽样的定义可知：，解得：
故答案为
本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。
16、
【解析】
根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.
【详解】
设点重合于点，如下图所示：

， ，
又平面， 平面，即为三棱锥的高

故答案为：
本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1，3；（2）.
【解析】
（1）当时，，解得．由数列为正项数列，可得．当时，，又，解得．由，解得；
（2）由．可得．当时，．当时，，可得．由．利用裂项求和方法即可得出．
【详解
（1）当时，，解得．
数列为正项数列，
∴．
当时，，又，解得．
由，解得．
（2），
∴．
∴．
当时，．
当时，．
时也符合上式．
∴．
．
故

．
本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18、 (1) ；(2) 当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.
【解析】
试题分析：⑴根据题意即可求得，化简即可；
⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案；
解析：（1）由题意知
∴.
（2）∵
∴
.
当且仅当时，上式取“”
∴当时，.
答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.
19、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.
【解析】
（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．
【详解】
（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．
当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，
而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，
∴q的取值范围为：．
（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，
得
即
当n＝1时，d≤2；
当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，
所以d，
所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．
本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．
20、（I）或；（II）．
【解析】
（I）令，将有三个零点问题，转化为有三个不同的解的解决.画出和的图像，结合图像以及二次函数的判别式分类讨论，由此求得的值.（II）令，将恒成立不等式等价转化为恒成立，通过对分类讨论，求得的最大值，由此求得的取值范围.
【详解】
（I）由题意等价于有三个不同的解
由，可得其函数图象如图所示：

联立方程：，
由可得
结合图象可知
．
同理，由可得，
因为，结合图象可知，
综上可得：或．
（Ⅱ）设，原不就价于，
两边同乘得：，
设，
原题等价于的最大值．
（1）当时，，易得，
（2），，易得，
所以的最大值为16，即，故．
本小题主要考查根据函数零点个数求参数，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想，属于难题.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算、，进而可得平均分的估计值；
（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；
（Ⅲ）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适.
【详解】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算，
，
由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为分.
（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于分的成绩中各选一个成绩，基本事件是，
甲、乙两名同学成绩都在分以上的基本事件为，
故所求的概率为.
（Ⅲ）答案不唯一.
派甲参赛比较合适，理由如下：
由（Ⅰ）知，，

，
，
因为，，
所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得分以上（含分）的频率为，
乙获得分以上（含分）的频率为，
因为，所有派乙参赛比较合适.
本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，属于基础题.