2025年江西省抚州市临川区第二中学数学高一下期末调研试题含解析.doc

2025年江西省抚州市临川区第二中学数学高一下期末调研试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
3．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（ ）
A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面
7．下列函数所具有的性质，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．设，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的反函数为____________．
12．已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______.
13．若数列满足（）,且，，__.
14．数列中，为的前项和，若，则____．
15．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为________
16．函数在内的单调递增区间为 ____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
18．某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查．
（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：
①列出所有可能抽取的结果；
②求抽取的2所学校至少有一所中学的概率．
19．如图，在中，，为内一点，.

（1）若，求；
（2）若，求的面积.
20．已知向量，不是共线向量，，，
（1）判断，是否共线；
（2）若，求的值
21．正四棱锥中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
分析：用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动的事件数，从而可求甲被选中的概率.
详解：从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，
包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，
甲被选中的概率为.
故选C.
点睛：本题考查用列举法求基本事件的概率，解题的关键是确定基本事件，属于基础题.
2、D
【解析】
由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．
【详解】
解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，
圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为1．
故选：．
本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点．
3、B
【解析】
作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．
【详解】

作出直线，可得，，，
①当时，若，当圆与直线相切，可得；
当圆经过点，即，
则或，故①错误；
②当时，若，圆，当圆经过O时，，交点个数为2，
时，交点个数为1，则，故②正确；
③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，
不可能等于3故③正确；
④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.
故选：B.
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.
4、C
【解析】
∵，∴，
又，∴，又为三角形的内角，所以，故
。选C。
5、D
【解析】
；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.
6、C
【解析】
根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.
【详解】
因为平面平面，直线，直线，
所以直线没有公共点，
所以两条直线平行或异面.
故选：C.
本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.
7、B
【解析】
结合反三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于A中，令，则，所以不正确；
对于C中，根据反正弦函数的性质，可得，所以是错误的；
对于D中，函数当时，则满足，所以不正确，
故选：B.
本题主要考查了反三角函数的性质的应用，其中解答中熟记反三角函数的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据向量平行得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
向量，且，则.
.
故选：.
本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
9、B
【解析】
先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可
【详解】
，则
故选B
本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题
10、D
【解析】
令，设对称点的坐标为，可得的中点在直线上，故可得①，又可得的斜率，由垂直关系可得②，联立①②解得，即对称点的坐标为，故选D.
点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中档题；点关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，即可得到结果.
【详解】
解：记
∴
故反函数为：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
12、1
【解析】
表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出.
【详解】
设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
，即，
该扇形的面积，
当且仅当时取等号.
该扇形的面积的最大值为.
故答案：.
本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.
13、1
【解析】
由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．
【详解】
由题意，数列满足，即，
又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当为奇数时，可得，
当为偶数时，可得．
所以．
故答案为：1.
本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14、
【解析】
由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【详解】
因为，所以，又因为
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以由等比数列的求和公式得，解得
本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．
15、
【解析】
根据数列的递推公式，求得，再结合等差等比数列的前项和公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，数列满足，…①
，…②
由①-②，可得，
即
当时，，所以，
则数列的前项和为.
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等差、等比数列的前项和的应用，其中解答中熟练应用熟练的递推公式得到数列的通项公式，再结合等差、等比数列的前项和公式的准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16、
【解析】
将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.
【详解】
解：，
递增区间为：，
可得
，
在范围内单调递增区间为。
故答案为：.
本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）7.
【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
详解：（1）∵ ，
∴，
∵为锐角，
∴；
（2）由余弦定理得：
.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
18、（1）3所、2所；（2）①共10种 ；
②
【解析】
（1）根据分层抽样的方法，得到分层抽样的比例，即可求解样本中小学与中学抽取的学校数目；
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为，利用列举法，即可求得抽取的2所学校的所有结果；
②利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率．
【详解】
（1）学校总数为35所，所以分层抽样的比例为，
计算各类学校应抽取的数目为：，
故从小学、中学中分别抽取的学校数目为3所、2所．
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为
应抽取的2所学校的所有结果为：
共10种．
②设“抽取的2所学校至少有一所中学”作为事件．
其结果共有7种，所以概率为．
本题主要考查了分层抽样的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，，中由余弦定理即可求得；
（2）设，利用正弦定理表示出，求得，利用面积公式即可得解.
【详解】
（1）在中，，
为内一点，，，所以，
中，由余弦定理得：
所以
中，由余弦定理得：
；
（2），设，
在中，，
在中，由正弦定理，
即，，
所以，
的面积.
此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.
20、（1）与不共线.（2）
【解析】
（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.
【详解】
解：（1）若与共线，由题知为非零向量，
则有，即，
∴得到且，
∴不存在，即与不平行.
（2）∵，则，即，
即，解得.
本小题主要考查判断两个向量是否共线，考查根据两个向量平行求参数，属于基础题.
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；
（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．
【详解】
（1）取的中点，连接、，

是的中点，且，
在正四棱锥中，底面为正方形，且，
又为的中点，且，
且，则四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）连接交于，则为的中点，

又为的中点，，
又，（或其补角）为异面直线和所成角，
在正四棱锥中，由为的中点，且，，
设，则，，
，则，
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．