2025年江苏省南京市玄武高级中学数学高一第二学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年江苏省南京市玄武高级中学数学高一第二学期期末经典模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列的前项和为，若，对任意的正整数均成立，则（ ）
A．162 B．54 C．32 D．16
2．已知两点，，若点是圆上的动点，则△面积的最小值是
A． B．6 C．8 D．
3．已知数列的前项和，则的值为（）
A．-199 B．199 C．-101 D．101
4．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)
A． B．
C． D．
5．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（ ）
A．“连续整边三角形”只能是锐角三角形
B．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形
C．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个
D．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个
6．平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
7．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B． C． D．
8．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称中心是
B．在定义域内是增函数
C．是奇函数
D．图像的对称轴是
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中抽取的数学成绩人数为_________。
12．在中，角的对边分别为，若，则角________.
13．设为正实数.若存在、，使得，则的取值范围是______.
14．数列满足，，，则数列的通项公式______.
15．已知直线与圆相交于，两点，则=______.
16．设向量，若，，则 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料

(1)画出数据的散点图，并判断y与x是否呈线性相关关系
(2)若y与x呈线性相关关系，求线性回归方程的回归系数，
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?
参考公式及相关数据:

18．等差数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
19．如图，已知矩形ABCD中，，，M是以CD为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面ABCD.

（1）求证：平面平面BCM；
（2）当四棱锥的体积最大时，求AM与CD所成的角.
20．已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；
（Ⅱ）求圆的标准方程；
（Ⅲ）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．
21．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.

（1）求的值；
（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由，得到数列表示公比为3的等比数列，求得，进而利用，即可求解.
【详解】
由，可得，所以数列表示公比为3的等比数列，
又由，，得解得，
所以，
所以
故选B.
本题主要考查了等比数列的定义，以及数列中与之间的关系，其中解答中熟记等比数列的定义和与之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2、A
【解析】
求得圆的方程和直线方程以及，利用三角换元假设，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由题意知，圆的方程为：，
直线方程为：，即
设
点到直线的距离：，其中
当时，
本题正确选项：
本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.
3、D
【解析】
由特点可采用并项求和的方式求得.
【详解】

本题正确选项：
本题考查并项求和法求解数列的前项和，属于基础题.
4、C
【解析】
关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.
5、C
【解析】
举例三边长分别是的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．
【详解】
三边长分别是的三角形,最大角为，则，是钝角　，三角形是钝角三角形，A，B都错，
如图中，，，是的平分线，则，∴，，∴，
，
又由是的平分线，得，∴，解得，
∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D错误．
故选D．

本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明．
6、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.
【详解】
由题平面平面 ，直线，
则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.
故选D.
本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．
7、B
【解析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】
解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8、C
【解析】
由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断
【详解】
由题可得,则,
因为,则,,则有,
所以,即
故选C
本题考查不等式的性质的应用,属于基础题
9、B
【解析】
根据最小正周期为求解与解析式,再求解的对称轴判断即可.
【详解】
因为最小正周期为,故.故,对称轴方程为,解得.当时, .
故选：B
本题主要考查了三角函数最小正周期的应用以及对称轴的计算.属于基础题.
10、A
【解析】
根据正切函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
．，
由得，，
的对称中心为，，故正确；
．在定义域内不是增函数，故错误；
．为非奇非偶函数，故错误；
．的图象不是轴对称图形，故错误．
故选．
本题考查了正切函数的图象与性质，考查了整体思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、80
【解析】
由题意，求得甲乙丙三所学校抽样比为，再根据甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，即可求解丙学校应抽取的人数，得到答案.
【详解】
由题意知，甲乙丙三所学校参加联考的人数分别为200、300、400，
所以甲乙丙三所学校抽样比为，
又由甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，所以在丙学校应抽取人.
本题主要考查了分层抽样概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，以及计算的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据得，利用余弦定理即可得解.
【详解】
由题：，，，
由余弦定理可得：，
.
故答案为：
此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.
13、
【解析】
由. 而，故已知条件等价于：存在整数、，使得 ①，再对分类讨论求出的范围.
【详解】
由.
而，故已知条件等价于：存在整数、，使得
. ①
当时，区间的长度不小于，故必存在、满足式①.
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情形：
（1），此时，，且，无解；
（2），此时，；
（3），此时，.
综上，并注意到也满足条件，知.
故答案为：
本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14、
【解析】
由题意得出，利用累加法可求出.
【详解】
数列满足，，，，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.
15、.
【解析】
将圆的方程化为标准方程,由点到直线距离公式求得弦心距,再结合垂径定理即可求得.
【详解】
圆,变形可得
所以圆心坐标为,半径
直线变形可得
由点到直线距离公式可得弦心距为
由垂径定理可知
故答案为:
本题考查了直线与圆相交时的弦长求法,点到直线距离公式的应用及垂径定理的用法,属于基础题.
16、
【解析】
利用向量垂直数量积为零列等式可得，从而可得结果.
【详解】
因为，且，
所以，
可得，
又因为，
所以，故答案为.
利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2），；（3）12.38万元
【解析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出，再利用回归直线过散点图的中心，求出；
（3）将代入（2）中的回归直线方程，求得.
【详解】
（1）散点图如下：

所以从散点图年，它们具有线性相关关系.
（2），，
于是有，
.
（3）回归直线方程是
当时，（万元），
即估计使用年限为10年时，维修费用是万元.
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当时，的值，考查数据处理能力.
18、 (1)；（2）.
【解析】
(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.
(2)先求出，再利用裂项求和求得.
【详解】
(1)等差数列中
解得：
(2)
数列的前n项和.
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.
19、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）只证明CM⊥平面ADM即可，即证明CM垂直于该平面内的两条相交直线，或者使用面面垂直的性质，本题的条件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD为直径的半圆周上一点，能够得到CM⊥DM，由面面垂直的性质即可证明；（2）当四棱锥M一ABCD的体积最大时，M为半圆周中点处，可得角MAB就是AM与CD所成的角，利用已知即可求解．
【详解】
（1）证明：CD为直径，所以CMDM ，
已知平面CDM平面ABCD， ADCD，
AD平面CDM，所以ADCM 又DMAD=D
CM平面ADM 又CM平面BCM，
平面ADM平面BCM ，
（2）

当M为半圆弧CD的中点时，四棱锥的体积最大，
此时，过点M作MOCD于点E,
平面CDM平面ABCD
MO平面ABCD，即MO为四棱锥的高又底面ABCD面积为定值2，
AM与CD所成的角即AM与AB所成的角，
求得，三角形为正三角形，
，故AM与CD所成的角为
本题主要考查异面直线成的角，面面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】
（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；
（Ⅱ）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；
（Ⅲ）由题意可知：圆心到直线的距离为1，分类讨论可得结果.
【详解】
解：（Ⅰ） 设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(II) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）.
由圆的性质，圆心在直线上，化简得．
所以 圆心，
，
所以 圆的标准方程为．
(III) 由(I)设为中点，则，得．
圆心到直线的距离.
(1) 当的斜率不存在时，，此时，符合题意.
(2) 当的斜率存在时，设，即，
由题意得，解得：．
故直线的方程为，即．
综上直线的方程或．
圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系。
21、（1）；（2）,乙组加工水平高．
【解析】
（1）根据甲、乙两组数据的平均数都是并结合平均数公式可求出、的值；
（2）利用方差公式求出甲、乙两组数据的方差，根据方差大小来对甲、乙两组技工的加工水平高低作判断．
【详解】
（1）由于甲组数据的平均数为，即，解得，
同理，，解得；
（2）甲组的个数据分别为：、、、、，
由方差公式得，
乙组的个数据分别为：、、、、，
由方差公式得，
，因此，乙组技工的技工的加工水平高．
本题考查茎叶图与平均数、方差的计算，从茎叶图中读取数据时，要注意茎的部分数字为高位，叶子部分的数字为低位，另外，这些数据一般要按照由小到大或者由大到小的顺序排列．