安徽高中教科研联盟2025年数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

安徽高中教科研联盟2025年数学高一下期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若长方体三个面的面积分别为23，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
3．已知满足：，则目标函数的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
4．设点M是直线上的一个动点，M的横坐标为，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
6．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
7．l：的斜率为
A．﹣2 B．2 C． D．
8．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
9．已知，所在平面内一点P满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若数列满足，且对于任意的，都有，则___；数列前10项的和____．
12．已知函数，它的值域是 __________.
13．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．
14．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ．
15．数列的通项，前项和为，则____________．
16．函数的值域是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知两点，.
（1）求直线AB的方程；
（2）直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标.
18．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.

（Ⅰ)求，的值；
（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
19．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.

（1）证明:直线平面；
（2）求直线与面所成角的大小；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
21．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且记，四边形ABCD的面积为.

（1）求函数的表达式及定义域；
（2）求的最大值及此时的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，由已知面积求得，，的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求．
【详解】
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，
则，解得，，．
长方体的对角线长为．
则长方体的外接球的半径为，
此长方体的外接球的表面积等于．
故选：C．
本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.
2、C
【解析】
，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.
3、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。
【详解】
由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.

故选：D
本题考查线性规划，是基础题。
4、D
【解析】
由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P,数形结合找出M点满足|MP|≤|OP|的范围,从而得到答案．
【详解】
由题意可知直线与圆相切，如图，

设直线x+y−2=0与圆相切于点P，
要使在圆上存在点N,使得，
使得最大值大于或等于时一定存在点N，使得，
而当MN与圆相切时，此时|MP|取得最大值，
则有|MP|≤|OP|才能满足题意，
图中只有在M1、M2之间才可满足，
∴的取值范围是[0,2].
故选：D.
本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.
5、D
【解析】
的最小正周期为，求解得到结果.
【详解】
由解析式可知，最小正周期
本题正确选项：
本题考查的性质，属于基础题.
6、A
【解析】
由在R上是奇函数且周期为4可得，即可算出答案
【详解】
因为在R上是奇函数，且满足
所以
因为当时，
所以
故选：A
本题考查的是函数的奇偶性和周期性，较简单.
7、B
【解析】
先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.
【详解】
由题得直线的方程为y=2x,
所以直线的斜率为2.
故选：B
本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、A
【解析】
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,由已知求
与的坐标,由两向量所成角的余弦值求解异面直线与所成角的余弦值．
【详解】

如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
由已知得：,,
所以,.
设异面直线与所成角,则
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
本题主要考查了利用空间向量求解线线角的问题,属于基础题.
9、D
【解析】
由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．
【详解】
因为
所以，
因为方向为外角平分线方向，
所以点在的外角平分线上，
同理，点在的外角平分线上，
，，
在中，由正弦定理得，
故选：．
本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
10、B
【解析】
试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．
考点：等比数列的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、,
【解析】
试题分析：由得由得，所以数列为等比数列，因此
考点：等比数列通项与和项
12、
【解析】
由反余弦函数的值域可求出函数的值域.
【详解】
，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
设出数列的首项和公差,根据等差数列通项公式和前项和公式,代入条件化简得和的关系,再代入所求的式子进行化简求值.
【详解】
解：设等差数列的首项为,公差为,
由,得,得,
.
故答案为：
本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用,属于基础.
14、
【解析】
如图
分别作于A,于C,于B,于D,
连CQ,BD则,,

又
当且仅当,
即点A与点P重合时取最小值.
故答案选C.

15、7
【解析】
根据数列的通项公式，求得数列的周期为4，利用规律计算，即可求解．
【详解】
由题意，数列的通项，
可得，
，得到数列是以4项为周期的形式，
所以
=．
故答案为：7.

本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式求得数列的周期，以及各项的变化规律是解答的关键，属于基础题，着重考查了．
16、
【解析】
将函数化为 的形式，再计算值域。
【详解】
因为
所以
本题考查三角函数的值域，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据、两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）根据的倾斜角和过点，得到的方程，再与直线联立，得到交点坐标.
【详解】
（1）因为点，，
所以，
所以方程为，
整理得；
（2）因为直线l经过，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以的方程为，整理得，
所以直线与直线的交点为，
解得，
所以交点坐标为.
本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.
18、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.
【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出，；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值．
【详解】
（Ⅰ)由题意得，解得
（Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为，则
解得：.
该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：
.
答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.
本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用同角三角函数的平方关系可求出的值，然后再利用同角三角函数的商数关系可求出的值；
（2）在分式分子和分母中同时除以，将所求分式转化为含的分式求解，代值计算即可.
【详解】
（1），，因此，；
（2）原式.
本题考查同角三角函数的商数关系求值，同时也考查了弦化切思想的应用，解题时要熟悉弦化切所适用的基本情形，考查计算能力，属于基础题.
20、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；
（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.
【详解】
（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，
因为，，且，所以为平行四边形，所以，
又因为､分别是棱､的中点，
所以，所以，
因为.所以､､､四点共面，
所以平面，又因为平面，
所以直线平面.

（2）因为，，是棱的中点，
所以，为正三角形，
取的中点，则，
又因为直四棱柱中，平面，所以，
所以平面，即直线与面所成角为，
所以，即，
所以直线与面所成角为.
（3）过在平面内作，垂足为，连接.
因为面，即，
且与相交于点，故且，
则为二面角的平面角，
在正三角形中，，
在中，，
∵，∴，
在中，，
，
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和对线面关系的掌握，属于中档题.
21、（1）（2）当时，取最大值.
【解析】
（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令，则，，再求最值即可.
【详解】
解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，
由已知可知，
在中，.，，
梯形ABCD的高，
则.
（2）设，则，，
则 ，，
则.
，当时，，
此时，即，
，，，故.
故的最大值为，此时.

本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题