北京市十一学校2025年高一数学第二学期期末预测试题含解析.doc

北京市十一学校2025年高一数学第二学期期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是（ ）
A．、、均小于，、、、均大于
B．、、、均小于，、、均大于
C．、、、均小于，、、均大于
D．、、、均小于，、、均大于
2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．

A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为18，若，，则等于（　　）
A．9 B．21 C．27 D．36
4．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．设集合,则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数多个
7．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（ ）
A． B． C． D．7
8．在中，已知，，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
9．如图，、两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在、两处观察点观察山顶点的仰角分别为、若，，且观察点、之间的距离为米，则山的高度为( )

A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则_________.
12．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．

13．如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____．

14．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；
15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
16．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中点，则点C到平面的距离等于_

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励.图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图.

（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；
（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；
（3）如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图.
19．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是.
(1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程;
(2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程.
20．在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
21．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：

（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？
（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；
（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由，且可得，，，，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断.
【详解】
，且，，数列的前项都是负数，
，，，由等差数列的求和公式可得，
，
由公差可知，、、、均小于，、、均大于.
故选：C.
本题考查等差数列前项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2、C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
3、C
【解析】
利用前项和的性质可求.
【详解】
因为，
而，
所以，故，选C.
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
4、B
【解析】
已知两角及一对边，求另一边，我们只需利用正弦定理.
【详解】
在三角形中由正弦定理公式: ，所以选择B
本题直接属于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.属于简单题.
5、B
【解析】
试题分析：由已知得，，故，选B．
考点：集合的运算．
6、B
【解析】
直接由正弦定理分析判断得解.
【详解】
由正弦定理得,
所以C只有一解，所以三角形只有一解.
故选：B
本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7、A
【解析】
由题意，焦点坐标，所以，解得，故选A。
8、A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
9、A
【解析】
过点作延长线于，根据三角函数关系解得高.
【详解】
过点作延长线于，
设山的高度为

故答案选A
本题考查了三角函数的应用，属于简单题.
10、B
【解析】
根据分段函数的表达式求解即可.
【详解】
由题.
故选：B
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用诱导公式求解即可
【详解】
，
故答案为：
本题考查诱导公式，是基础题
12、60
【解析】
由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.
【详解】
由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，
在中，.
本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.
13、
【解析】
该多面体为正八面体，将其转化为两个正四棱锥，通过计算两个正四棱锥的体积计算出正八面体的体积.
【详解】
以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，
也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．则其中一个正四棱锥的高为h．
∴该多面体的体积V．
故答案为：
本小题主要考查正八面体、正四棱锥体积的计算，属于基础题.
14、
【解析】
根据模的计算公式可直接求解.
【详解】

故填：.
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
15、
【解析】
如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
16、
【解析】
利用等体法即可求解.
【详解】

如图，由ABCD是菱形，，，E是BC的中点，
所以,
又平面ABCD，所以平面ABCD，即，
又，则平面，
由平面，所以，
所以，
设点C到平面的距离为，
由
即，
即，
所以.
故答案为：
本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有

因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二
【解析】
（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率；
（2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；
（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几．
【详解】
（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天
设事件A为甲乙两人两天全部获奖，则
（2）由图可知，解得
所以该天运动步数不少于15000的人数为（人）
全体职工在该天的平均步数为：
（千步）
（3）因为
假设甲的步数为千步，乙的步数为千步
由频率分布直方图可得：
，解得
，解得
所以可得出的是星期二的频率分布直方图.
本题考查利用频率分布直方图来求平均数和概率，要注意计算的准确性，较简单.
19、 (1);(2)或.
【解析】
（1）由直线平行则斜率相等，设出所求直线方程，利用M点到两直线距离相等求解；
（2）由直线垂直则斜率乘积为-1，设出所求直线，利用M点到两直线距离相等求解.
【详解】
（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为
，
则，
解得，或(舍).
所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为.
（2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为
，
则，
解得，或.
所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或.
本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题.
20、 (1) (2)
【解析】
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求．
（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算得解的周长的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，的面积为，
，
∴，
∴由余弦定理可得：
，
∴解得：，
∴的周长.
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21、（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是
【解析】
（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．
【详解】
（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，
依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，
单果直径落在的苹果抽取个数为个
（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.
这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，
所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.
（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；
按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，
则该合作农场收益为：元，
即为31.36万元 因为，
所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.
本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．