2025届江西省赣州市十五县数学高一下期末考试模拟试题含解析.doc

2025届江西省赣州市十五县数学高一下期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在公比为2的等比数列中，，则等于（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
2．关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计数据表：
使用年限

维修费用

根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（ ）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
3．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则
A． B．
C．− D．
4．在棱长为2的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则这个三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
6．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶
7．若三棱锥的四个面都为直角三角形,平面,,,则三棱锥中最长的棱长为( )
A． B． C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．54 B． C．90 D．81
9．若，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．( ).
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将正偶数按下表排列成列，每行有个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字所在的行数与列数分别是_______________.

第列
第列
第列
第列
第列
第行

第行

第行

第行

…
…

12．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.
13．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．

14．某扇形的面积为1，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.
15．如图，长方体中，，，， 与相交于点，则点的坐标为______________．

16．化简：______.（要求将结果写成最简形式）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集为实数集，，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
18．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证：成等差数列；
（Ⅱ）若求.
19．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.
（2）给出两个公式：①；②.
请仅以上述两个公式为已知条件证明：.
20．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．设函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.
【详解】
等比数列的公比为2，
由，即，所以舍
所以
故选：D
本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.
2、C
【解析】
计算出和，将点的坐标代入回归直线方程，求得实数的值，然后将代入回归直线方程可求得结果.
【详解】
由表格中的数据可得，，
由于回归直线过样本中心点，则，解得，
所以，回归直线方程为，当时，.
因此，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是万元.
故选：C.
本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点”的应用，考查计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．
【详解】
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴，
故选A．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
4、C
【解析】
先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.
【详解】

由正方体的性质可知，
是正四面体，
且正四面体的棱长为，
在内，
的最大值为，
的最小值是到平面的距离，
设在平面的射影为,
则为正三角形的中心，，
，
的最小值为，
又因为不在三角形的边上，
所以的范围是，故选C.
本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
5、B
【解析】
解：

6、D
【解析】
解：因为在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，那么分为的两个锥体的体积比为1：，因此锥体被截面所分成的两部分的体积之比为．1∶
7、B
【解析】
根据题意，画出满足题意的三棱锥，求解棱长即可.
【详解】
因为平面，故，且，
则为直角三角形，由以及勾股定理得：
；
同理，因为则为直角三角形，由，以及勾股定理得：
；
在保证和均为直角三角形的情况下，
①若，则在中，由勾股定理得：
，
此时在中，由，及，
不满足勾股定理
故当时，无法保证为直角三角形.
不满足题意.
②若，则，
又因为面ABC，面ABC，则，
故面PAB，又面PAB，故，
则此时可以保证也为直角三角形.满足题意.
③若，在直角三角形BCA中，
斜边AB=2，小于直角边AC=，显然不成立.
综上所述：当且仅当时，可以保证四棱锥
的四个面均为直角三角形，故作图如下：

由已知和勾股定理可得：

，
显然，最长的棱为.
故选：B.
本题表面考查几何体的性质，以及棱长的计算，涉及线面垂直问题，需灵活应用.
8、A
【解析】
由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．
【详解】
由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，
四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6，
则该多面体的体积为.
故选：A.
本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.
9、C
【解析】
利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．
【详解】
，，则，
，则，所以，，
因此，
，
故选C．
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：
①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；
②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
10、D
【解析】
运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】
,
故本题选D.
本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、行列
【解析】
设位于第行第列，观察表格中数据的规律，可得出，由此可求出的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出的值，由此可得出结果.
【详解】
设位于第行第列，
由表格中的数据可知，第行最大的数为，则，解得，
由于第行最大的数为，所以，是表格中第行最小的数，
由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第列，那么.

因此，位于表格中第行第列.
故答案为：行列.
本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.
12、0
【解析】
利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
根据向量减法的几何意义可得：,
即,
所以
.
故答案为：0
本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.
13、
【解析】
根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.
【详解】
由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人
岁以下有研究生学历的教师人数为：人
岁以下有研究生学历的教师的百分比为：
本题正确结果：
本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.
14、
【解析】
根据扇形的面积和周长列方程组解得半径和弧长，再利用弧长公式可求得结果.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
则，解得，
所以.
故答案为：
本题考查了扇形的面积公式，考查了扇形中弧长公式，属于基础题.
15、
【解析】
易知是的中点，求出的坐标，根据中点坐标公式求解.
【详解】
可知，，由中点坐标
公式得的坐标公式，即

本题考查空间直角坐标系和中点坐标公式，空间直角坐标的读取是易错点.
16、
【解析】
结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可
【详解】

故答案为：
本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；
（2）求出，再由子集概念列式求解．
【详解】
解：（1）由得，
（2）由已知得，由（1）可知则
解得，由（1）可得时，，从而得
本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】
试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：
即2分
∴
即4分
∵
∴即
∴成等差数列. 6分
（Ⅱ）∵∴8分
又10分
由（Ⅰ）得：∴12分

考点：三角函数与解三角形.
19、（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．
（2）由已知条件利用诱导公式，证明．
【详解】
解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.
∵，∴，
.
（2）由于，将换成后，
就有
即，
.
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
20、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.
试题解析：（1）由题意，
所以．
（2）由（1）得，，
所以．
【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．
21、（1）（2）
【解析】
（1）不等式为，根据一元二次不等式的解法直接求得结果；（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系可知的两根为：和，且，利用韦达定理构造方程可求得结果.
【详解】
（1）当时，
由得：，解得：或
不等式的解集为：
（2）由不等式得：
解集为
方程的两根为：和，且，即
，解得：
本题考查一元二次不等式的求解、一元二次不等式解集和一元二次方程根的关系；关键是能够根据不等式解集得到方程的根，利用韦达定理求得结果.