吉林省白城市洮南十中2025年数学高一第二学期期末联考试题含解析.doc

吉林省白城市洮南十中2025年数学高一第二学期期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
2．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列中，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为角终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，为两个平面，则能断定∥的条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线
C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面
7．若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
8．设某曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线相交于，两点，且点恰为等线段的中点，则（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
9．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则___________.
12．过点作圆的切线，则切线的方程为_____．
13．函数的初相是__________．
14．函数的最小正周期是____.
15．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．
16．设等差数列的前项和为，若，，则的值为______.
三、解答题本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
18．已知，且，求的值.
19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据.

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；
（3已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：，）
20．已知，
（1）求的值；
（2）求的值
21．王某2017年12月31日向银行贷款元，银行贷款年利率为，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第年末还款后此人在银行的欠款额为元.
（1）设每年的还款额为元，请用表示出；
（2）求每年的还款额（精确到元）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A

【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
2、D
【解析】
由正弦定理构造方程即可求得结果.
【详解】
由正弦定理得：
本题正确选项：
本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
3、A
【解析】
由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值。
【详解】
因为，由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得
由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A。
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。
4、B
【解析】
直接利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，
其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，共7个，
故所求概率为．
故选B
本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、B
【解析】
由可得，借助三角函数定义可得m值与.
【详解】
∵
∴，解得
又为角终边上一点，
∴，∴
∴
故选B
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．
6、C
【解析】
对四个选项逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；
对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；
对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别为A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；
对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.
本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
7、C
【解析】
，，，可以归纳出数列的通项公式．
【详解】
依题意，，，，
所以此数列的一个通项公式为，
故选：C．
本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．
8、B
【解析】
由曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等知该曲线为抛物线，
其方程为，分别过点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，
由梯形的中位线定理知,
所以，故选B.
9、A

【解析】
取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，

由于、分别为、的中点，则，且，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，
为的中点，则，且，同理可得，
在中，由余弦定理得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．
本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：
（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；
（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．
10、D
【解析】
利用诱导公式变形，再化弦为切求解．
【详解】
由诱导公式化简得，
又，所以原式.
故选D
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，也考查了化弦为切的思想，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.
【详解】
若，，
将上述两等式平方得，①
，②，
①＋②可得，求得，故答案为．
本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.
12、或
【解析】
求出圆的圆心与半径分别为：，，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案．
【详解】
由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为; ，;
（1）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为：，此时圆心到直线的距离，故不与圆相切，不满足题意；
（2）当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为：，即为；
由于直线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得：或，所以切线的方程为或；
综述所述：切线的方程或
本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题．
13、
【解析】
根据函数的解析式即可求出函数的初相.
【详解】
，初相为.
故答案为：
本题主要考查的物理意义，属于简单题.
14、
【解析】
将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.
【详解】
由于所以
本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.
15、；
【解析】
由题意得，验证满足条件，所以
16、－6
【解析】
由题意可得，求解即可.
【详解】
因为等差数列的前项和为， ，
所以由等差数列的通项公式与求和公式可得
解得.故答案为-6.
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不是“M函数”；（2），；（3）.
【解析】
由不满足，得不是“M函数”，
可得函数的周期，，
当时，
当时，
在上的单调递增区间：，
由可得函数在上的图象，根据图象可得：
当或1时，为常数有2个解，其和为
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
【详解】
不是“M函数”．
，
，
不是“M函数”．
函数满足，函数的周期
，，
当时，
当时，
，
在上的单调递增区间
由可得函数在上的图象为：

当或1时，为常数有2个解，其和为.
当时，为常数有3个解，其和为．
当时，为常数有4个解，其和为
当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，
则．
本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．
18、
【解析】
利用向量垂直和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式和同角三角函数平方关系将化为关于正余弦的齐次式的问题，分子分母同时除以可化为的形式，代入的值可求得结果.
【详解】
，即

本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到向量垂直的坐标表示、同角三角函数关系和二倍角公式的应用；关键是能够灵活利用同角三角函数的平方关系构造出关于正余弦的齐次式，进而构造出正切的形式来进行求解.
19、 (1)见解析.(2).(3)吨.
【解析】
（1）直接描点即可
（2）计算出的平均数，，及，，利用公式即可求得，问题得解．
（3）将代入可得，结合已知即可得解．
【详解】
解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；

（2）计算，
，
，
，
∴回归方程的系数为： .
，∴所求线性回归方程为；
（3）利用线性回归方程计算时，，
则，即比技改前降低了19.65吨.
本题主要考查了线性回归方程的求法，考查计算能力，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用同角三角函数平方和商数关系求得；利用两角和差正切公式求得结果；（2）利用二倍角公式化简所求式子，分子分母同时除以可将所求式子转化为关于的式子，代入求得结果.
【详解】
（1），

（2）

本题考查利用同角三角函数、两角和差正切公式、二倍角的正余弦公式化简求值问题，关键是能够利用求解关于正余弦的齐次式的方式，将问题转化为与有关的式子的求解.
21、 (1) (2)12950元
【解析】
（1）计算100000元到第二年年末的本利和，减去第一次还的元到第二年年末的本利和，再减去第二年年末还的元，可得；
（2）根据100000元到第10年年末的本利和与每年还款元到第10年年末的本利和相等，得到关于的方程组，进而求得的值.
【详解】
(1)由题意得：.
(2)因为
所以，解得：.
本题以生活中的贷款问题为背景，考查利用等比数列知识解决问题，考查数学建模能力和运算求解能力，求解时要先读懂题意，并理解复利算法，是成功解决问题的关键.