吉林省长春市九台市师范中2024-2025学年高一数学第二学期期末检测试题含解析.doc

吉林省长春市九台市师范中2024-2025学年高一数学第二学期期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．两数1，25的等差中项为（ ）

A．1 B．13 C．5 D．
3．已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
5．已知，，则的最大值为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．27
6．直线与圆相交于两点，则弦长（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，则（ ）
A．12 B． C． D．8

9．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.
12．如图所示，已知，用表示.

13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
14．如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________

15．已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____.
16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在边长为2菱形ABCD中，，且对角线AC与BD交点为O．沿BD将折起，使点A到达点的位置．

（1）若，求证：平面ABCD；
（2）若，求三棱锥体积．
18．在中，角所对的边分别为．且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
19．已知数列的前项和为，且，.
（1）试写出数列的任意前后两项（即、）构成的等式；
（2）用数学归纳法证明：.
20．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
21．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式
（2）数列的前项和为，若存在，使得成立，求范围?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.
【详解】
若，，则，错误；
，则，错误；
，，则，错误；
，则等价于，成立，正确.
本题正确选项：
本题考查不等式的性质，属于基础题.
2、B
【解析】
直接利用等差中项的公式求解.
【详解】
由题得两数1，25的等差中项为.
故选：B
本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】
根据倾斜角求得斜率，再根据点斜式写出直线方程，然后化为一般式.
【详解】
倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即.故选C.
本小题主要考查倾斜角与斜率对应关系，考查直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题.
4、D
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.
5、B
【解析】
由已知，可利用柯西不等式，构造柯西不等式即可求解．
【详解】
由已知，可知，，
利用柯西不等式，
可构造得，
即，所以的最大值为3，故选B．
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
6、D
【解析】
试题分析：圆心到直线的距离为，所以弦长为.
考点：直线与圆的位置关系．
7、D
【解析】
利用余弦定理求出和的表达式，由，结合正弦定理
得出的表达式，利用余弦定理得出的表达式，可解出的值，
于此确定三边长，再利用大边对大角定理得出为最小角，从而求出．
【详解】
，由正弦定理，即，
，
，，
解得，由大边对大角定理可知角是最小角，所以，，故选D．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．
8、C
【解析】
根据向量的坐标表示求出，即可得到模长.
【详解】
由题，，
所以.
故选：C
此题考查向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，并求向量的模长，关键在于熟记公式，准确求解.
9、C
【解析】
试题分析： 设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.
考点：1.古典概型；
10、C
【解析】
根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.
【详解】
由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球
底面正方形对角线长为：
外接球半径
外接球体积
本题正确选项：
本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
12、
【解析】
可采用向量加法和减法公式的线性运算进行求解
【详解】
由，整理得
本题考查向量的线性运算，解题关键在于将所有向量通过向量的加法和减法公式转化成基底向量，属于中档题
13、
【解析】
试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
14、
【解析】
通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.
【详解】
作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.

本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.
15、
【解析】
设，则，可得，然后利用基本不等式得到关于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，进而得到结论.
【详解】
∵x，y＝R+，设，则，
∴
∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，
∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，
∴，
∵xy的最大值与最小值分别为M和m，
∴M，m，
∴M+m.
本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和运算推理能力，属于中档题.
16、
【解析】
根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值
【详解】
因为
所以角最大值为
本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
(1)证明与即可.
(2)法一：证明平面,再过点做垂足为,证明为三棱锥的高再求解即可.
法二：通过进行转化求解即可.
法三：通过进行转化求解即可.
【详解】
证明：1）∵在菱形ABCD中,,,AC与BD交于点O．
以BD为折痕,将折起,使点A到达点的位置,∴,
又,,
∴,∴,
∵,∴平面ABCD
（2）（法一）：∵,,
取的中点,则且,
因为且,,
所以平面,
过点做垂足为,则平面BCD,
又
∴,解得
,
∴三棱锥体积．
（法二）： 因为,,取AC中点E,
,,
,又

（法三）因为且,,所以平面
,,
所以．
本题主要考查了线面垂直的证明与锥体体积的求解方法等.需要根据题意找到合适的底面与高,或者利用割补法求解体积.属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理，
得，
∴；
（2）∵，
由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以
本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由，可得出，两式相减，化简即可得出结果；
（2）令代入求出的值，再由求出的值，可验证和时均满足，并假设当时等式成立，利用数学归纳法结合数列的递推公式推导出时等式也成立，综合可得出结论.
【详解】
（1）对任意的，由可得，
上述两式相减得，化简得；
（2）①当时，由可得，解得，满足；
②当时，由于，则，满足；
③假设当时，成立，则有，
由于，则.
这说明，当时，等式也成立.
综合①②③，.
本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
20、（1），；（2）
【解析】
（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.
【详解】
(1)，，，解得
.
又，，
.
（2）由（1），得

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据之间关系，可得结果
（2）利用错位相减法，可得，然后使用分离参数的方法，根据单调性，计算其范围，可得结果.
【详解】
（1）
当时，
两式相减得：
当时，，不符合上式
所以
（2）令，所以
所以

令①
②
所以①-②：
则
化简可得
故，
若存在，使得成立
即存在，成立
故，由，

则
所以可知数列在单调递增
所以，故
本题考查了之间关系，还考查了错位相减法求和，本题难点在于的求法，重点在于错位相减法的应用，属中档题.