2025届浙江省9+1高中联盟长兴中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025届浙江省9+1高中联盟长兴中学高一数学第二学期期末联考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数向左平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝石和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（ ）

A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，74
4．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）
A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，12
5．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．已知且,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则函数的单调递增区间为（ )
A． B． C． D．
8．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（ ）
A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品
9．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，，则_______.
12．一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）
13．已知数列满足，则__________.
14．已知数列中，，，，则的值为 _____．
15．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）
16．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)当时，求与夹角的余弦值．
18．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
19．如图，在中，已知点D在边BC上，，的面积是面积的倍，且，.

（1）求；
（2）求边BC的长.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果，求a的值．
21．等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据函数的图象变换规律，三角函数的图象关于轴对称,即为偶函数.，求得的最小值．
【详解】
把函数向左平移个单位长度后.
可得的图象.
再根据所得图象关于轴对称,即为偶函数.
所以
即，
当时，的值最小.
所以的最小值为：
故选：A
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
2、A
【解析】
先求出和的值，再根据诱导公式即可得解.
【详解】
因为角的终边与单位圆的交点为，所以，，
则.
故选：A.
本题考查任意角三角函数值的求法，考查诱导公式的应用，属于基础题,
3、B
【解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4），输出分别为98，78。
故选B。
4、B
【解析】
根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．
【详解】
根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，
当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，
所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，1．
故选：B．
本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．
5、C
【解析】
由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，利用直线与圆的相切的性质即可得出．
【详解】
由题意可知：点在反射光线上．
设反射光线所在的直线方程为：，即．
由相切的性质可得：，化为：，
解得或．
故选．
本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、A
【解析】
分析：，由，可得，又，可得，化简整理即可得出.
详解：，由，可得，
又，
可得，
化为，
解得，
则的取值范围是.
故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7、B
【解析】
由题意利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．
【详解】
函数，
令，求得，
可得函数的增区间为，，．
再根据，，可得增区间为，，
故选．
本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查余弦函数的单调性，属于基础题．
8、B
【解析】
根据对立事件的概念，选出正确选项.
【详解】
从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.
故选：B
本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.
9、C
【解析】
设与的夹角为，计算出、、的值，再利用公式结合角的取值范围可求出的值.
【详解】
设与的夹角为，则，
，，另一方面，
，，，
因此，，，因此，，故选C.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题的关键就是计算出、、的值，考查计算能力，属于中等题.
10、D
【解析】
求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．
【详解】
圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率为．
故选D．
本题考查几何概型，属于基础题．

二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.
【详解】
设的角、、的对边分别为、、，
在内取点，使得，
设，，，
由余弦定理得，，
同理可得，，，则，
的面积为，
另一方面，解得，故答案为.
本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.
12、
【解析】
根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．
【详解】
根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图：

在中，由余弦定理
,
由为的内角，可知，所以.
设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,
故取最大时，取最大值.
①当为中点时，由垂径定理知，即，
此时，故；
②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；
由垂线段最短知，此时;
综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；
由圆周角定理可知，,
由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，
则，
在中，由正弦定理得
所以
所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.
故答案为：．
【点评】
本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．
13、
【解析】
数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
【详解】
因为所以
又
所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
所以
所以
故填
本题考查等差数列，属于基础题。
14、1275
【解析】
根据递推关系式可求得，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为，利用等差数列求和公式求得结果.
【详解】
由得：
则，即

本题正确结果：
本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.
15、72
【解析】
先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为.
【详解】
先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，
利用乘法原理得到排法总数为种，故答案为72
本题考查排列、组合计数原理的应用，考查基本运算能力.
16、
【解析】
根据等比通项公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查等比数列公比的求解，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）-3；（2）－.
【解析】
(1)根据向量平行的坐标关系求得
(2)根据向量的数量积运算求得夹角.
【详解】
解　(1)由题意，得．因为，
所以，解得.
(2)当时，．
设与的夹角为θ，则
.
所以与夹角的余弦值为－.
本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.
18、（1）；（2）4.
【解析】
（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．
（2）利用前n项和公式直接求解即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，∴，
故.
（2），
∴，
解得或（舍去），
∴.
本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用三角形面积公式得出和的表达式，由，化简得出的值；
（2）由结合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，进而得出，由直角三角形的边角关系得出，最后由得出的长.
【详解】
（1）因为，，且，
所以
即，所以.
（2）由（1）知，所以
在中，，，
由余弦定理
所以.
且
所以，解得.
所以.即边BC的长为.
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据条件结合余弦定理求出的值，从而求出的大小；（2）先利用同角三角函数的基本关系结合角的范围求出的值，最后利用正弦定理求解的值.
试题解析：（1）因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，，
所以，
由正弦定理，
得.
考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系
21、（1）（2）
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝