2024-2025学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校高一数学第二学期期末检测试题含解析.doc

2024-2025学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校高一数学第二学期期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）
A．若,,则 B．若，,则
C．若,,则 D．若,,则
2．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
3．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是定义在上不恒为的函数，且对任意，有成立，，令，则有( )
A．为等差数列 B．为等比数列
C．为等差数列 D．为等比数列
6．在中，内角的对边分别为，且，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
7．下列函数中周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A． B．
C． D．
8．已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．已知各项均不为零的数列，定义向量，，． 下列命题中真命题是 ( )
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
10．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．

12．设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集为、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，b=1,则_____________
14．若向量与平行．则__．
15．下列命题：
①函数的最小正周期是；
②在直角坐标系中，点，将向量绕点逆时针旋转得到向量，则点的坐标是；
③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有两个公共点；
④函数在上是增函数．
其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．
16．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长.
18．已知为锐角，且．
（I）求的值；
（II）求的值．
19．在中，角对应的边分别是，且.
（1）求的周长；
（2）求的值.
20．设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，，，，.
（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由
21．在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．
【详解】
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则与平行或，故D错误．
故选C．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
2、A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得

，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3、D
【解析】
利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.
【详解】
取，，可排除A，B，C，
由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.
故选：D.
本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
4、D
【解析】
解不等式，即得函数的定义域.
【详解】
因为，
所以，即，
解得．
故选：D
本题主要考查三角函数定义域的求法，考查解三角不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、C
【解析】
令,得到得到，
.
,
说明为等差数列，故C正确，根据选项，排除A，D.
∵.
显然既不是等差也不是等比数列．
故选C.
6、B
【解析】
利用正弦定理化简，由此求得的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
利用正弦定理化简得，所以为锐角，且.由于，所以由得，化简得.若，则，故.若，则，由余弦定理得，解得.综上所述，，故选B.
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.
7、B
【解析】
因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.
考点：三角函数性质
8、C
【解析】
根据向量满足的条件确定出P点的位置，再根据三角形有相同的底边，确定高的比即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
即点在边上，且，
所以点到的距离等于点到距离的，
故的面积与的面积之比为.选C.
本题主要考查了向量的线性运算，三角形的面积，属于中档题.
9、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量，，，
当时，可得，即，
所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列．
当，可得，即，
所以，
所以数列既不是等差数列，也不是等比数列.
故选A．
本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10、D
【解析】
分、、是直角三种情况讨论，求出点的轨迹，将问题转化为点的轨迹图形与圆的公共点个数问题，即可得出正确选项.
【详解】
①若为直角，则，设点，，，
则，即，
此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，
圆与圆的圆心距为，，
则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；
②若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；
③若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.
综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.
故选：D.
本题考查符合条件的直角三角形的顶点个数，解题的关键在于将问题转化为直线与圆、圆与圆的公共点个数之和的问题，同时也考查了轨迹方程的求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.
【详解】
由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点
，，
所以线性回归方程必过.
故答案为：
本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.
12、1835028
【解析】
分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.
【详解】
当二元子集较大的数为，则较小的数为；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、 、；

当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.
由题意可得
，
令，
得，
上式下式得，
化简得，
因此，，
故答案为：.
本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.
13、2
【解析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.
【详解】
由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
14、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．
【详解】
由题意，向量与平行，所以，解得．
故答案为．
本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
15、①②④
【解析】
由余弦函数的周期公式可判断①；由任意角的三角函数定义可判断②；由余弦函数和一次函数的图象可判断③；由诱导公式和余弦函数的单调性可判断④．
【详解】
函数y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正确；
在直角坐标系xOy中，点P（a，b），
将向量绕点O逆时针旋转90°得到向量，
设a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，
rsin（90°+α）＝rcosα＝a，则点Q的坐标是（﹣b，a），故②正确；
在同一直角坐标系中，函数y＝cosx的图象和函数y＝x的图象有一个公共点，故③错误；
函数y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确．
故答案为①②④．

本题考查余弦函数的图象和性质，主要是周期性和单调性，考查数形结合思想和化简运算能力，属于基础题．
16、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式,结合平面向量数量积定义,分别表示出,联立即可求得,进而得的值.
（2）由,结合余弦定理即可表示出,由（1）可得.即可联立表示出,进而求得周长.
【详解】
（1）因为,
所以,则
而,可得,所以
即
化简可得
所以；
（2）因为,所以由余弦定理可得,
即,由（1）知,
则,所以,
所以的周长为.
本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理解三角形,平面向量数量积的定义及应用,属于中档题.
18、（I）;（II）
【解析】
试题分析：（1）根据两角和差的正切公式，将式子展开，根据题干中的条件代入即可；（2）这是其次式的考查，上下同除以，得到正切的一个式子，根据题干中的正切值代入即可．
（I）
（II）因为，所以

19、（1）（2）
【解析】
（1）由余弦定理求得，从而得周长；
（2）由余弦定理求得，由平方关系得，同理得，然后由两角差的余弦公式得结论．
【详解】
解：（1）在中，，由余弦定理，得
，即，
∴的周长为
（2）由，得，
由，得，于是
.
本题考查余弦定理和两角差的余弦公式，考查同角间的三角函数关系式，属于基础题．
20、（1）①是，②不是,理由见解析
（2）证明见解析
（3）存在，证明见解析
【解析】
（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；
（2）根据题意找出符合条件的为等差数列即可；
（3）首先，根据，将公差表示出来，计算任意相邻两项的差值可以发现不大于．那么用裂项相消的方法表示出，结合相邻两项差值不大于可以得到，接下来，只需证明存在满足条件的即可．用和公差表示出，并展开可以发现多项式的最高次项为，而已知，因此在足够大时显然成立．结论得证.
【详解】
解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”
取分别为1，3，5，7，9，11，13即可；
数列②2，，，，不是“弱等差数列”
否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数构成等差数列，设公差为，
，
，
又
与矛盾，
所以数列②2不是“弱等差数列”；
（2）证明：设，
令，取，则，
则，

，
，
就有，命题成立．
故数列为“弱等差数列”；
（3）若存在这样的正整数，使得
成立．
因为，，
则，其中待定．

从而，

又，
∴当时，总成立．
如果取适当的，使得，又有

所以，有
，
为使得，需要，
上式左侧展开为关于的多项式，最高次项为，其次数为，
故，对于任意给定正整数，当充分大时，上述不等式总成立，
即总存在满足条件的正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”.
本题要求学生能够从已知分析出“弱等差数列”要想成立所应该具备的要求，进而进行推理，转化，最后进行验证，本题难度相当大.
21、（1）A=；（2）.
【解析】
（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案.
（2）利用余弦定理得到，代入面积公式得到答案.
【详解】
解：（1）因为所以由正弦定理可得整理可得左右同除以得到,
即A=
(2) 由余弦定理，
得，故，
所以三角形的面积.
本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.