2025届甘肃省玉门市第一中学数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2025届甘肃省玉门市第一中学数学高一第二学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．9
2．若（ ）
A． B． C． D．
3．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
4．已知扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数为
A． B． C． D．
5．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）

A．90° B．60°
C．45° D．30°
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
10．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列、都是公差为1的等差数列，且，，设，则数列的前项和________
12．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

13．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义： ，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．
14．若角的终边经过点，则___________.
15．在中，角所对的边分别为，，则____
16．已知函数,为的反函数,则_______(用反三角形式表示).
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：

1
4
7
12

229
244
241
196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
18．如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点

（1）当时，求的值；
（2）设，求的取值范围．
19．已知等比数列的公比，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前项和，对任意正整数不等式恒成立，求 的取值范围.
20．已知等差数列的前项的和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.
21．在中，已知，，且，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．
【详解】
由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，
其中落入白色部分的有484个点，
则其中落入黑色部分的有605个点，
由随机模拟试验可得：，又，
可得，故选B．
本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.
2、D
【解析】
故.
【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.
3、D
【解析】
根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.
【详解】
根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，
故选D.
至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.
4、A
【解析】
设半径为，圆心角为，根据扇形面积公式，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】
设半径为，圆心角为，则对应扇形面积，
又，，
则
故选A.
本题主要考查由扇形面积求圆心角的问题，熟记扇形面积公式即可，属于常考题型.
5、A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
在中，，因为，所以，所以，
则
,
因为，所以,
所以，则 ，
即的取值范围为.选A.
本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
6、C
【解析】
先利用可求出的值，再利用、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，计算出周期，再由可计算出的值，从而可得出答案．
【详解】
由题意可知，，
、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，则，，
因此，，，故选C．
本题考查三角函数的解析式的求解，求解步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：根据题中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；
（3）求：将对称中心点和最高、最低点的坐标代入函数解析式，若选择对称中心点，还要注意函数在该点附近的单调性．
7、C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、B
【解析】
连接，可证是异面直线与所成的角或其补角，求出此角即可．
【详解】

连接，因为，分别为棱，的中点，所以，又正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角，
是等边三角形，＝60°．所以异面直线与所成的角为60°．
故选：B．
本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．
9、B
【解析】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==181，
解得a1=1．
故选B．
10、B
【解析】
由题意，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正实数a，b满足，
则，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为9.
故选：B.
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据等差数列的通项公式把转化到，再把转化，然后由已知和等差数列的前项和可求结果．
【详解】

．
故答案为：．
本题主要考查等差数列通项公式和前项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．
12、
【解析】
假设正方体棱长，根据//，得到异面直线与所成角，计算，可得结果.
【详解】
假设正方体棱长为1，因为//，所以
异面直线与所成角即与所成角
则角为
如图

，
所以

故答案为：
本题考查异面直线所成的角，属基础题.
13、
【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.
考点：三角函数的概念.
14、3
【解析】
直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可
【详解】
由任意角三角函数的定义可得：．
则
故答案为3
本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．
15、
【解析】
利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.
【详解】

由正弦定理可得：
即：

本题正确结果：
本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.
16、
【解析】
先将转化为，，然后求出即可
【详解】
因为
所以
所以
所以
所以
把与互换可得
即
所以
故答案为：
本题考查的是反函数的求法，较简单

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,理由见解析；（2）第5个月，利润最大为245.
【解析】
（1）根据题中数据，即可直接判断出结果；
（2）将题中，代入，求出参数，根据二次函数的性质，以及自变量的范围，即可得出结果.
【详解】
（1）由题目中的数据知，描述每月利润（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数进行描述；
（2）将，代入，解得，，
∴，，，
，∴，万元.
本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
18、 (1) ；(2)
【解析】
（1）由三角函数的定义得出， 通过当时，，， 进而求出的值；
（2）利用三角恒等变换的公式化简得，得出，进而得到的取值范围．
【详解】
（1）由三角函数的定义，可得
当时，，即，
所以．
（2）因为，所以，
由三角恒等变换的公式，化简可得：
，
因为，所以，
即的取值范围为．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19、 (1)；(2)
【解析】
（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案；
（2）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案.
【详解】
（1）因为，所以.
又因为，所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，，
所以.
所以对任意正整数恒成立.
设，易知单调递增.
当为奇数时，的最小值为，所以，解得；
当为偶数时，的最小值为，所以.
综上，，即的取值范围是.
本题考查了求等比数列的通项公式，考查了错位相减法求和，考查了数列的单调性，考查了不等式恒成立，属于中档题.
20、（1）数列的通项公式为 （2）
【解析】
试题分析：（1）建立方程组 ；
（2）由（1）得：进而由裂项相消法求得.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知

解得.
所以数列的通项公式为
（2）
∴

21、或
【解析】
首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．
【详解】
由得，，所以或，由余弦定理有，，
故或，即或．
本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．