2025年吉林省长春市九台区第四中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年吉林省长春市九台区第四中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．当且时， D．
3．已知函数(,)的部分图像如图所示，则的值分别是( )

A． B．
C． D．
4．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．中，则
A． B． C． D．
6．已知平面向量，，且，则＝
A． B． C． D．
7．已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，则所选红花和蓝花的盆数分别为　　
A．2，1 B．1，2 C．0，3 D．3，0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_______.
12．已知为所在平面内一点，且，则_____
13．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________
14．已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.
15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．
16．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数个
2
3
4
5
加工的时间
2.5
3
4
4.5

1求出y关于x的线性回归方程；
2试预测加工10个零件需要多少时间？
18．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，.

（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？
19．已知偶函数.
（1）若方程有两不等实根，求的范围
（2）若在上的最小值为2，求的值.
20．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，且，，.

（1）求证：平面；
（2）若点为线段上一点，且，求四棱锥的体积.
21．已知：，，，，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.
【详解】
如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，
因为即，
所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，
于是.

故选：D
本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.
2、D
【解析】
利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明．
【详解】
当时，A不正确；，则，B错误；当时，，，C错误；由不等式的性质正确．
故选：D.
本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．
3、B
【解析】
通过函数图像可计算出三角函数的周期，从而求得w，再代入一个最低点即可得到答案.
【详解】
, ，
又，
，，
又，，
故选B.
本题主要考查三角函数的图像，通过周期求得w是解决此类问题的关键.
4、C
【解析】
由可得,代入求解可得,则,进而利用诱导公式求解即可
【详解】
由可得,即,
所以,
因为,所以,
则,
故选:C
本题考查垂直向量的应用,考查里利用诱导公式求三角函数值
5、B
【解析】
试题分析：由余弦定理，故选择B
考点：余弦定理
6、B
【解析】
根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．
【详解】
且 ，则
故
故选B.
本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键．
7、A
【解析】

所求的全面积之比为： ，故选A.
8、A
【解析】
根据已知先求出数列的首项，公差d已知，可得。
【详解】
由题得，，解得，则.
故选：A
本题考查用数列的通项公式求某一项，是基础题。
9、A
【解析】
分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出 并集。
【详解】
当即时，，则等价于，即，解得：，
当即时，，则等价于，即，所以，
综述所述，原不等式的解集为
故答案选A
本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。
10、A
【解析】
利用分层抽样的性质直接求解．
【详解】
解：用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，
则所选红花的盆数为：，
所选蓝花的盆数为：．
故选：A．
本题考查所选红花和蓝花的盆数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
在方向上的投影为，把向量坐标代入公式，构造出关于的方程，求得.
【详解】
因为，所以，
解得：，故填：.
本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.
12、
【解析】
将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．
【详解】
解：设，则根据题意可得，，
如图所示，作，垂足分别为，则

又，，故答案为．
本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．
13、
解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z＝i（2﹣i）＝1+2i，
得．
故答案为1﹣2i．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．
14、
【解析】
直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
【详解】
设向量、的夹角为；
∵，∴，
∵，∴.
故答案为：．
本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.
【详解】
三棱锥，平面，，，
画出图像：

易知：每个面都是直角三角形.

本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.
16、60
【解析】
由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.
【详解】
由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，
在中，.
本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）小时
【解析】
（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1中求得的回归方程中，取求得值即可．
【详解】
（1）由表中数据得：，，，，
，
，
．
（2）将代入回归直线方程，
（小时）．
预测加工10个零件需要小时．
本题考查了回归分析，解答此类问题的关键是利用公式计算，计算要细心．
18、 (1) 分钟. (2)58分钟；(3)
【解析】
（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
（1）设中位数为，则
解得：（分钟）
这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟

（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）
即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟
（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，
则从五人中选出两人共有以下种情况：

两名组长分别选自和的共有以下种情况：
所求概率
本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.
19、（1）；（2）或.
【解析】
（1）由偶函数的定义，利用，求得的值，再由对数函数的单调性，结合题设条件，即可求解实数的范围；
（2）利用换元法和对勾函数的单调性，以及二次函数的闭区间上的求法，分类讨论对称轴和区间的关系，即可求解.
【详解】
（1）因为，所以的定义域为，
因为是偶函数，即，
所以，故，
所以，即方程的解为一切实数，所以，
因为，且，
所以原方程转化为，
令，，
所以所以在上是减函数，是增函数，
当时，使成立的有两个，
又由知，与一一对应，
故当时，有两不等实根；
（2）因为，所以，
所以，
令，则，令，设，
则，
因为，所以，即在上是增函数，
所以，
设，则.
（i）当时，的最小值为，
所以，解得，或4（舍去）；
（ii）当时，的最小值为，不合题意；
（iii）当时，的最小值为，
所以，解得，或（舍去）
综上知，或.
本题主要考查了函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，对数函数的图象与性质，以及换元法和分类讨论思想的应用，试题综合性强，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
20、（1）见解析 （2）6
【解析】
（1）连接交于点，得出点为的中点，利用中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；
（2）过作交于，由平面，得出平面，可而出，结合，可证明出平面，可得出，并计算出，利用平行线的性质求出的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接交于，连接.
四边形为矩形，∴为中点.
又为中点，∴.

又平面，平面，
∴平面；
（2）过作交于.
∵平面，∴平面.
又平面，∴.
∵，，，平面，
∴平面.连接，则，
又是矩形，易证，而，，得，
由得，∴.
又矩形的面积为8，∴.
本题考查直线与平面平行的证明，以及锥体体积的计算，直线与平面平行的证明，常用以下三种方法进行证明：
（1）中位线平行；（2）平行四边形对边平行；（3）构造面面平行来证明线面平行．
一般遇到中点找中点，根据已知条件类型选择合适的方法证明．
21、
【解析】
先由同角三角函数的平方关系求出，，然后结合两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
解：由，，，，
所以，，
则
.
本题考查了同角三角函数的平方关系，重点考查了两角和的余弦公式，属基础题.