2025届辽宁沈阳市东北育才学校高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025届辽宁沈阳市东北育才学校高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
3．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）

A．20米 B．15米 C．12米 D．10米

5．已知，那么等于( )
A． B． C． D．5
6．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．执行下图所示的程序框图，若输出的，则输入的x为（ ）

A．0 B．1 C．0或1 D．0或e
8．已知为第Ⅱ象限角，则的值为（）
A． B． C． D．
9．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ (　　)
A． B．3 C． D．
10．已知变量x，y的取值如下表：
x
1
2
3
4
5
y
10
15
30
45
50
由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为，据此可预测：当时，y的值约为（ ）
A．63 B．74 C．85 D．96
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．
12．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.
13．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___

14．函数（）的值域是__________.
15．棱长为，各面都为等边三角形的四面体内有一点，由点向各面作垂线，垂线段的长度分别为，则=______．
16．函数的单调增区间是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
18．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
19．已知三角形ABC的顶点为，，，M为AB的中点．
（1）求CM所在直线的方程；
（2）求的面积．
20．已知函数.
（1）求的最小正周期和上的单调增区间：
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.
21．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少?
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么?
（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】
正负相间用表示，∴．
故选D．
本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
2、B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
3、D
【解析】
设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.
【详解】
如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，
因为即，
所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，
于是.

故选：D
本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.
4、B
【解析】
设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.
【详解】
设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.
故选B.

本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.
5、B
【解析】
因为，
所以，
故选B.
6、B
【解析】
分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比较即可．
详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，
∵，∴a1q4=b1+5d，
=a1q2+a1q6
=2（b1+5d）=2b6=2a5
﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0
所以≥
故选B．
点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．
7、C
【解析】
根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的的值.
【详解】
当输出结果为时.
当,则,解得
当,则,解得
综上可知,输入的或
故选:C
本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题.
8、B
【解析】
首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．
【详解】
因为，所以或，
又为第Ⅱ象限角，故，．
因为为第Ⅱ象限角即，
所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．
由于，解得，故选B．
本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．
9、B
【解析】
利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，
所以
故选B.
主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.
10、C
【解析】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．
【详解】
由题得，．
故样本点的中心的坐标为，
代入，得．
，取，得．
故选：．
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0.5
【解析】
表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．
【详解】

此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．
12、或
【解析】
令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.
【详解】
令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.
13、6
【解析】
先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
【详解】
几何体如图所示：

去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ，
所以三棱柱的体积：
所以几何体的体积：
本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.
14、
【解析】
由，根据基本不等式即可得出，然后根据对数函数的单调性即可得出，即求出原函数的值域．
【详解】
解：，
当且仅当，时取等号，
；
原函数的值域是．
故答案为：．
考查函数的值域的定义及求法，基本不等式的应用，以及对数函数的单调性，增函数的定义．
15、．
【解析】
根据等积法可得
∴
16、，
【解析】
先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出。
【详解】
因为，所以的单调增区间是，。
本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）14海里/小时； （2）.
【解析】
（1）,
∴

∴,
∴V甲海里/小时 ；
（2）在中，
由正弦定理得
∴
∴.
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
19、（1）（2）
【解析】
（1）先求出点M的坐标，再写出直线的两点式方程化简即得解；（2）求出和点A到直线CM的距离即得解.
【详解】
（1）AB中点M的坐标是，
所以中线CM所在直线的方程是，即．
（2），
因为直线CM的方程是，
所以点A到直线CM的距离是，
又，
所以．
本题主要考查直线方程的求法，考查两点间的距离的计算和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、 (1) T=π，单调增区间为， (2)
【解析】
（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.
（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.
【详解】
解：（1）函数

故的最小正周期．
由题意可知：，
解得：，
因为，所以的单调增区间为，
（2）由（1）得
∵∴，
∴，

若对任意的和恒成立，
则的最小值大于零．
当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以，
综上所述，的范围为.
本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、（1）在A公司第年收入为；在B公司连续工作年收入为；（2）应选择A公司，理由见详解；（3）827；理由见详解.
【解析】
（1）先分别记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，
根据题中条件，即可直接得出结果；
（2）根据等差数列与等比数列的求和公式，分别计算前的和，即可得出结果；
（3）先令，将原问题转化为求的最大值，
进而可求出结果.
【详解】
（1）记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，
由题意可得：，，
，；
（2）由（1），当时，
该人在A公司工资收入的总量为：
（元）；
该人在B公司工资收入的总量为：
（元）
显然A公司工资总量高，所以应选择A公司；
（3）令，
则原问题即等价于求的最大值；
当时，

，
若，则，即，解得；
又，所以，
因此，当时，；当时，.
所以是数列的最大项，（元），
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多元.
本题主要考查数列的应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.