江西省抚州市临川一中2024-2025学年高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

江西省抚州市临川一中2024-2025学年高一数学第二学期期末达标检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
2．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知角A满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，且，则等于()
A． B． C． D．
6．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
7．已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2016
8．已知向量，满足，，且在方向上的投影是－1，则实数（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
9．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．14
10．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.
12．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.

13．若实数满足不等式组 则的最小值是_____.
14．和的等差中项为__________．
15．已知，则_________
16．函数的反函数是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列三角方程：
（1）；
（2）.
18．设函数．
（1）求函数的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为的三个内角，若，，且为锐角，求．
19．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
20．中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
21．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.
（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
2、B
【解析】

直线恒过点
且斜率为

由图可知，且

故选
点睛：本题主要考查了两条直线的交点坐标，直线恒过点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
3、A
【解析】
将等式两边平方，利用二倍角公式可得出的值．
【详解】
，在该等式两边平方得，
即，解得，故选A.
本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题．
4、D
【解析】
令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】
令，得，
，令，
则，所以，，
构造函数，其中，由于，
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点，
因此，实数的取值范围是，故选D．
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．
5、A
【解析】
在△ABC中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin（A+C）＝sinB，结合a＞b，即可求得答案．
【详解】
在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，
∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA，
∴sin（A+C），
又A+B+C＝π，
∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，
∴B．
故选A．
本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题．
6、A
【解析
试题分析：设扇形半径为，此点取自阴影部分的概率是，故选B.
考点：几何概型.
【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.
7、C
【解析】
利用和关系得到数列通项公式，代入数据得到答案.
【详解】
已知数列的前n项和为，且满足，
相减：
取

答案选C
本题考查了和关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.
8、A
【解析】
由投影的定义计算．
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
本题考查向量数量积的几何意义，掌握向量投影的定义是解题关键．
9、C
【解析】
由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】
∵等差数列的前项和有最大值，
∴等差数列为递减数列，
又，
∴，，
∴，
又，，
∴成立的正整数的最大值是17，
故选C．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
10、B
【解析】
由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．
【详解】
解：三角形的一个角为，夹这个角的两边之比为，
设夹这个角的两边分别为和，
则由余弦定理，可得第三边的长度为，
三角形的最大边为，对应的角最大，记为，
则由正弦定理可得，
故选：B．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.
【详解】
如图，取的中点，连接.
由题意可得，
则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.
故答案为

本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.
12、
【解析】
作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。
【详解】
设正方体的边长为1，
连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，

由于为正四面体，为的中心，所以平面，
所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，
当在中点时， 由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为
故直线与平面所成的最大角的余弦值为
故答案为
本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。
13、4
【解析】
试题分析：由于根据题意x,y满足的关系式，作出可行域，

当目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4.
考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．
点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.
14、
【解析】
设和的等差中项为，利用等差中项公式可得出的值.
【详解】
设和的等差中项为，由等差中项公式可得，故答案为：.
本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.
【详解】
因为，所以，即，
所以.
本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.
16、，
【解析】
求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.
【详解】
，则，
由可得，，
因此，函数的反函数是，.
故答案为：，.
本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】
（1）先将等式变形为，并利用两角和的余弦公式得出，即可得出，即可得出该方程的解；
（2）由，将该方程变形为，求出的值，即可求出该方程的解.
【详解】
（1），，即，
，解得；
（2），整理得，
即，，得或，
解得；解，得.
因此，原方程的解为或.
本题考查三角方程的求解，对等式进行化简变形是计算的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）（2）减区间为，（3）
【解析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．
利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值．
【详解】
函数，
故它的最小正周期为．
对于函数，令，求得，
可得它的减区间为，．
中，若，．
若，，为锐角，．
．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
【详解】
（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且fx）的图象有一条对称轴为直线，
故最大值A＝4，且,
∴，
∴ω＝1．
所以.
因为的图象经过点，所以，
所以，.
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，，
所以，，
即的单调递增区间为.
本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．
20、（1）；（2）．
【解析】
（1）由正弦定理化边为角，再由同角间的三角函数关系化简可求得；
（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面积最大值．
【详解】
（1）∵，∴，又，
∴，即∴；
（2）由（1），
∴，当且仅当时等号成立．
∴，
，最大值为．
本题考查正弦定理和余弦定理，考查同角间的三角函数关系，考查基本不等式求最值．本题主要是考查的公式较多，掌握所有公式才能正确解题．本题属于中档题．
21、 (1) ；(2) 当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.
【解析】
试题分析：⑴根据题意即可求得，化简即可；
⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案；
解析：（1）由题意知
∴.
（2）∵
∴
.
当且仅当时，上式取“”
∴当时，.
答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.