吉林省抚松五中、长白县实验中学、长白山二中、长白山实验中学2024-2025学年数学高一下期末监测试题含解析.doc

吉林省抚松五中、长白县实验中学、长白山二中、长白山实验中学2024-2025学年数学高一下期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若向量，则
A． B． C． D．
2．长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
3．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．9
5．已知向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，，,．的值为( )
A． B． C． D．
7．对数列，若区间满足下列条件：
①；②，
则称为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A．；
B．
C．
D．
8．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值

10．某林区改变植树计划，第一年植树增长率，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的，若成活率为，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，已知，则____________.
12．数列中，为的前项和，若，则____．
13．______________
14．的值为________.
15．设为，的反函数，则的值域为______.
16．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数，其中.
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值.
18．在等差数列中，已知,.
（I）求数列的通项公式；
（II）求.
19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.
20．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
21．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额成本）
（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据向量的坐标运算法则，可直接得出结果.
【详解】
因为，所以.
故选B
本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
2、A
【解析】
本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】
长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，
求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知 , ，
故选A.
将问题等价转换为可视的问题。
3、C
【解析】
根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．
【详解】
甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．
故选C．
本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.
4、C
【解析】
由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．
【详解】
由，可得成等比数列，即有＝4，①
若成等差数列，可得，②
由①②可得，1；
若成等差数列，可得，③
由①③可得，1．
综上可得1．
故选：C．
本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．
5、D
【解析】
利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.
【详解】
，，，，解得，故选D.
本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
由正弦定理列方程求解。
【详解】
由正弦定理可得：，
所以，解得：.
故选：B
本题主要考查了正弦定理，属于基础题。
7、C
【解析】
由题意，得为递增数列，为递减数列，且当时，；而与
与均为递减数列，所以排除A,B,D，故选C.
考点：新定义题目.
8、A
【解析】
利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．
【详解】
由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，
以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，
则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，
又因为分别为的最小值、最大值，
所以，故选A．
本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．
9、C
【解析】
试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.
考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.
10、B
【解析】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，则第年的林区的树木数量为，求解即可.
【详解】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，
则第年的林区的树木数量为，
，，，，
因此，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的倍，故选：B.
本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、84
【解析】
根据余弦定理以及同角公式求得，再根据面积公式可得答案.
【详解】
由余弦定理可得，
又，所以，
所以.
故答案为：84
本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.
12、
【解析】
由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【详解】
因为，所以，又因为
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以由等比数列的求和公式得，解得
本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．
13、
【解析】
由二倍角公式可得： .
14、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值.
【详解】
依题意，由于，所以
故答案为：
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.
15、
【解析】
求出原函数的值域可得出其反函数的定义域，取交集可得出函数的定义域，再由函数的单调性可求出该函数的值域.
【详解】
函数在上为增函数，则函数的值域为，
所以，函数的定义域为.
函数的定义域为，
由于函数与函数单调性相同，可知，函数在上为增函数.
当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查函数值域的求解，考查函数单调性的应用，明确两个互为反函数的两个函数具有相同的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、0
【解析】
利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
根据向量减法的几何意义可得：,
即,
所以
.
故答案为：0
本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可.
（2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可.
【详解】
（1），
令，得，
解得或，

（2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形，
当时，，当时，
当时，，当时，，
时，.
本题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求法、不等式的解法等基本知识，考查了运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（II）由已知可得 构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.
【详解】
（I）因为是等差数列，,所以
解得.则,.
（II） 构成首项为,公差为的等差数列.
则
本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.
19、
【解析】
由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.
【详解】
由题意，，，
又，所以，
，

则 .
本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.
20、（1）（2）存在，最小值是．
【解析】
（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.
（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为（），由题意得
化简，得 ．
因为，所以，解得
所以 ，
即数列的通项公式是 （）．
（2）由（1）可得 ．
假设存在正整数，使得，即 ，
即，解得或 (舍) ．
所以所求的最小值是．
本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
21、（1）；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.
【解析】
（1）先阅读题意，再分当时，当时，求函数解析式即可；
（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值，当时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.
【详解】
解：（1）由已知有当时，
当时，，
即，
（2）当时，，
当时，取最大值，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
又
故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.
本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.