新疆昌吉州第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

新疆昌吉州第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．与直线平行，且到的距离为的直线方程为
A． B． C． D．
3．下列四个结论正确的是（ ）
A．两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．两条直线没有公共点，则这两条直线平行
C．两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行
D．两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行
4．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．以点为圆心，且经过点的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
6．在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
9．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的最小正周期是（　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.

12．函数的反函数是______.
13．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.
14．已知，且，.则的值是________.
15．设变量满足条件，则的最小值为___________
16．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数.
（1）求函数的周期和递增区间；
（2）若，求函数的值域.
18．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20．已知圆，直线平分圆.
（1）求直线的方程；
（2）设，圆的圆心是点，对圆上任意一点，在直线上是否存在与点不重合的点，使是常数，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据二倍角公式先化简，再根据即可。
【详解】
由题意得，所以周期为.所以选择D
本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。
2、B
【解析】
试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为
考点：两直线间的距离
点评：两平行直线间的距离
3、C
【解析】
利用空间直线平面位置关系对每一个选项分析得解.
【详解】
A. 两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误；
B. 两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以该选项错误；
C. 两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，是平行公理，所以该选项正确；
D. 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误.
故选：C
本题主要考查直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、C
【解析】
作出图形，设圆心到直线的距离为，利用数形结合思想可知，并设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】
如下图所示：

设直线的斜率为，则直线的方程可表示为，即，
圆心为，半径为，由于圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
所以，即，即，整理得，解得，
因此，直线的斜率的取值范围是.
故选：C.
本题考查直线与圆的综合问题，解题的关键就是确定圆心到直线距离所满足的不等式，并结合点到直线的距离公式来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
5、B
【解析】
通过圆心设圆的标准方程，代入点即可．
【详解】
设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．
故选B
此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．
6、C
【解析】
根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.
【详解】
由正弦定理得：

本题正确选项：
本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.
7、C
【解析】
根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.
【详解】
在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;
根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;
根据向量的三角形法,,故C错误;
故选:C.
本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.
8、D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
9、D
【解析】
计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.
【详解】
在△PAC中，设，，，，
因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，
在△PAC中，，
在△EAC中，，
整理得，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以，
又因为∠CEF=90°，所以，
所以，
所以.
又因为△ABC是边长为的正三角形，
所以PA,PB,PC两两垂直，
则球O是以PA为棱的正方体的外接球，
则球的直径，
所以外接球O的体积为.
故选D.

本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
10、C
【解析】
根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．
【详解】
由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．
本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
S=1，i=1
满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2
满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3
满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4
满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5
满足条件S<40，执行循环体，S=13，i=1
此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为1．
故答案为：1．
本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
12、，
【解析】
求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.
【详解】
，则，
由可得，，
因此，函数的反函数是，.
故答案为：，.
本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
13、
【解析】
化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．
【详解】
解：因为
所以，，
由，可得，
则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，
画出的图象如下所示：

依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，
故答案为：
本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
14、2
【解析】

.
15、-1
【解析】
根据线性规划的基本方法求解即可.
【详解】
画出可行域有：

因为.根据当直线纵截距最大时, 取得最小值.由图易得在处取得最小值.
故答案为：
本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.
16、
【解析】
本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；
【详解】
解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.
故答案为：
本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；
（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.
【详解】
（1），
所以，函数的周期为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）当时，，则，，
因此，函数在区间上的值域为.
本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由，得到，再结合向量的模的运算公式，即可求解.
（2）因为，得到，求得结合正切的倍角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，
所以，因此；
（2）因为，所以，即，
因此.
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的求解，以及向量的垂直的条件的应用和正切的倍角公式的化简求值等，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
20、（1）直线的方程为.（2）见解析
【解析】
(1)结合直线l平分圆，则可知该直线过圆心，代入圆心坐标，计算参数，即可．（2）结合A,M坐标，计算直线AM方程，采取假设法，假设存在该点，计算，对应项成比例，计算参数t，即可．
【详解】
（1）圆的标准方程为
因为直线平分圆，
所以，得，
从而可得直线的方程为.
（2）点，，直线方程为，
假设存在点 ，满足条件，设，则有
，

当是常数时，是常数，
∴，∴，∵，∴.
∴存在满足条件.
本题考查了直线与圆的综合问题，第一问代入圆心坐标，即可，同时采取假设法，计算,利用对应项系数成比例，建立等式，即可．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.