2024-2025学年绵阳中学数学高一下期末考试模拟试题含解析.doc

2024-2025学年绵阳中学数学高一下期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（ ）

A． B． C． D．
4．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
6．设平面向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，，，为边上的中点，则 ( )
A．0 B．25 C．50 D．100
8．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.
12．已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.
13．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.
14．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.

15．在中，角所对的对边分别为，若，，，则的面积等于_____
16．已知角的终边上一点P的坐标为，则____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边分别为，已知.
（1）求;
（2）若，求边上的高的长.
18．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα，数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an+1）在直线l上．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn，数列{bn}的前n项和Tn，如果对任意n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．
19．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，，求面积.
20．已知等比数列是递增数列，且满足：，.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
21．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2、B
【解析】
由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．
【详解】
∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率，
又直线过点，
由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即．
故选：B．
本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
3、C
【解析】
根据题意，分别求出SE与BC所成的角、SE与平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小.
【详解】
四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，
所以四棱锥为正四棱锥，
（1）过作，交于，过底面中心作交于，连接，取中点，连接，如下图（1）所示：则；

（2）连接 如下图（2）所示，则;

（3）连接，则 ，如下图（3）所示：

因为
所以，
而均为锐角，
所以
故选：C.
本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.
4、B
【解析】
设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴
故选B
5、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
6、D
【解析】
分析：由向量垂直的条件，求解，再由向量的模的公式和向量的数量积的运算，即可求解结果.
详解：由题意，平面向量，且，
所以，所以，即，
又由，所以，故选D.
点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和向量模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、C
【解析】
三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.
【详解】
由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，
原式=.
故选C.
本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
8、B
【解析】
由正弦定理可得，化简后求出，然后求出即可．
【详解】
，，
，，
，．
故选：．
本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
9、A
【解析】
先求出再利用正弦定理求解即可.
【详解】
，，，
由正弦定理可得，
解得，
故选：A.
本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.
10、C
【解析】
先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出，进而求得t的范围，进而求得t的最小值．
【详解】
函数的周期T=6，
则，∴，
∴正整数t的最小值是8.
故选：C.
本题主要考查三角函数的周期性以及正弦函数的简单性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。
【详解】

当时，符合，

当时，符合，

一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。
12、
【解析】
利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.
【详解】
，，，且的面积是，
，，，，
由余弦定理得，.
故答案为．
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
13、（或写成）
【解析】
光线从点射向y轴，即反射光线反向延长线经过关于y轴的对称点，则反射光线通过和两个点，设直线方程求解即可。
【详解】
由题意可知，所求直线方程经过点关于y轴的对称点为，则所求直线方程为，即.
此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。
14、
【解析】
设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.
【详解】
设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，
其面积为，
当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，
所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.
故答案为：.
本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.
15、或
【解析】
由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。
【详解】
由于在中，，，，根据余弦定理可得：，即，解得：或，经检验都满足题意；
所以当时，的面积，当时，的面积；
故的面积等于或
本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。
16、
【解析】
由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．
【详解】
解：由题意可得点到原点的距离
，，
由三角函数的定义可得，，，
此时；
故答案为．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1） 首先由正弦定理，我们可以将条件化成角度问题，再通过两角和差的正弦公式，即可以得出的正切值，又因为在三角形中，从而求出的值.
（2） 由第一问得出，我们能求出，而,从而求出.
【详解】
（1）根据题意
因为，所以
得，即
所以，又因为
所以.
（2）因为
所以
又的面积为:
可得:
解三角形题中，我们常根据边的齐次，会利用正弦定理进行边化角，然后通过恒等变形，变成角相关等量关系，作为面积问题，我们初中更多是用底与高的处理，高中能用正弦形式表示，两者统一一起，又能得出相应的等量关系.
18、 (1) an＝6•（﹣1）n﹣1；(1) 最大值为1．
【解析】
（1）由直线恒过定点可得M（1，﹣3），求得直线l的方程，可得an+6＝1Sn，运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；
（1）bn•（﹣1）n﹣1，讨论n为偶数或奇数，可得Tn，再由不等式恒成立问题解法，可得所求k的范围，可得最大值．
【详解】
（1）3x+8y+3λx+λy+11＝0即为（3x+8y+11）+λ（3x+y）＝0，
由3x+y＝0且3x+8y+11＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），
可得直线l的斜率为tanα1，即直线l的方程为y+3＝1（x﹣1），
即有y＝1x﹣5，
即有an+1＝1Sn﹣5，即an+6＝1Sn，
当n＝1时，可得a1+6＝1S1＝1a1，即a1＝6，
n≥1时，an﹣1+6＝1Sn﹣1，又an+6＝1Sn，
相减可得1an＝an﹣an﹣1，即an＝﹣an﹣1，
可得数列{an}的通项公式an＝6•（﹣1）n﹣1；
（1）bn，即bn•（﹣1）n﹣1，
当n为偶数时，Tnn；当n为奇数时，Tnn，
当n为偶数时，不等式成立，
即为1n﹣7即k≤1n﹣1，可得k≤1；
当n为奇数时，不等式成立，
即为1n﹣7即4k≤6n﹣1，可得k，
综上可得k≤1，即k的最大值为1．
本题考查数列的递推式的运用，直线方程的运用，数列的分组求和，以及不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．
19、（1），（2）
【解析】
（1）利用三角函数的和差公式化简已知等式可得，结合为锐角可得的值．
（2）由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴
∵
∴
可得：
∵A，C为锐角，
∴，可得：
（2）∵
∴由余弦定理，可得：，
即，解得：或3，
因为为锐角三角形，所以需满足
所以
所以的面积为
本题主要考查了三角函数恒等变换及余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；
（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．
【详解】
（1）由题意，得，又，所以，，或 ，，
由是递增的等比数列，得 ，所以，，且，
∴，即；
（2）由（1）得，
得，
所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以.
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元
【解析】
（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．
【详解】
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设知；
由图1知，
由图2知，
则，.
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.
，
，令，则
则
当时，，
此时
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.
本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．