四川省阆中中学新区2025年高一下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

四川省阆中中学新区2025年高一下数学期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在直角坐标系中，已知点，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
2．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为
A． B． C． D．
8．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，且，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
10．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，则的值为__________．
12．在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 ____.
13．函数的图象在点处的切线方程是，则__________．
14．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
15．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．
16．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长.

18．在直角坐标系中，，，点在直线上.
（1）若三点共线，求点的坐标；
（2）若，求点的坐标.
19．已知函数的图象如图所示.

（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值．
20．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
21．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d，再求出，代入即可得解.
【详解】
，即，
点到直线的距离，
，
的面积为：
故选：B
本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题.
2、B
【解析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
3、C
解析】
设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).
4、A
【解析】
试题分析：，故选A．
5、C
【解析】
试题分析：因为，，，所以
。故选C。
考点：不等式的性质
点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。
6、B
【解析】
根据题意设点M的坐标为，利用两点间的距离公式可得到关于的一元二次方程，只需即可求解.
【详解】
点M在直线上，不妨设点M的坐标为，
由直线上存在点M满足，
则，
整理可得，

，
所以实数c的取值范围为.
故选：B
本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
7、C
【解析】
分析：利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.
详解：由，可得.
设的中点为D，即.

点P是△ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.
∴
.
当且仅当，即点与点重合时，有最小值.
故选C.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
8、B
【解析】
，则，
所以，则，
易知，，则在单调递减，单调递增，
所以，故选B。
点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。
9、A
【解析】
由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．
【详解】
由题意可得 ，即 ．
∴，
故选A．
本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．
10、D
【解析】
直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，
所以在时，取得最大值，所以有
而，所以的最小值为.
本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.
【详解】
，且，因此，，
故答案为：.
本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.
12、钝角三角形
【解析】
由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围
【详解】
解：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得

是钝角三角形
故答案为钝角三角形．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题
13、
【解析】
由导数的几何意义可知，又，所以.
14、
【解析】
分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.
【详解】
①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
解得：
综上所述：
本题正确结果：
本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.
15、3x＋4y－14＝0
【解析】
由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
16、
【解析】
首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。
【详解】
设，则

∴为偶函数，其图象关于轴对称，
又依题意只有一个零点，故此零点只能是，
所以，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：
本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
连接，由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.
【详解】
设该扇形的半径为米，连接，如图所示：

由题意，得米，米，，
在△中，由余弦定理得，
即，
解得米.
答：该扇形的半径的长为米.
本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）三点共线，则有与共线，由向量共线的坐标运算可得点坐标；
（2），则，由向量数量积的坐标运算可得
【详解】
设，则，
（1）因为三点共线，所以与共线，
所以，，点的坐标为.
（2）因为，
所以，即，，点的坐标为.
本题考查向量共线和向量垂直的坐标运算，属于基础题．
19、（1）函数的解析式为，其振幅是2，初相是（2）时，函数取得最大值0；时，函数取得最小值勤-2
【解析】
（1）根据图像写出，由周期求出，再由点确定的值．
（2）根据的取值范围确定的取值范围，再由 的单调求出最值
【详解】
（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为-2，∴，
又∵，∴，，∴.
∴函数的解析式为.
∵函数的图象经过点，
∴，∴，
又∵，∴.
故函数的解析式为，其振幅是2，初相是.
（2）∵，∴.
于是，当，即时，函数取得最大值0；
当，即时，函数取得最小值为-2.
本题考查由图像确定三角函数、给定区间求三角函数的最值，属于基础题．
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0＝sin2A＝×＝.
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.
21、（1），；（2）
【解析】
（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.
【详解】
(1)，，，解得
.
又，，
.
（2）由（1），得

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题．