2025年湖南省衡阳县高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

2025年湖南省衡阳县高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（　　）
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图,已知平行四边形,,则( )

A． B．
C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则 （ ）

A． B．
C． D．
8．设集合A={x|x≥–3}，B={x|–3–3} B．{x|x<1}
C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}
9．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为( )
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
10．己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线与圆相交于两点，则______.
12．函数的最小正周期为________．
13．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.

14．已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　
15．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义： ，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．
16．计算：=_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.
18．在数列中，，.
（1）分别计算，，的值；
（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
19．己知数列的前项和，求数列的通项.
20．如果定义在上的函数，对任意的，都有， 则称该函数是“函数”．
（I）分别判断下列函数：①；②； ③，是否为“函数”？（直接写出结论）
（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．
（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与
21．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．

（1）证明：平；
（2）证明：平面平面．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.
【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．
则甲所用的时间为：．
乙所用的时间，满足+，解得．
则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．
故选：B．
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
2、D
【解析】
直接利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】
因为每一尺的重量构成等差数列，，，
，
数列的前5项和为．
即金锤共重15斤，
故选D．
本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.
3、B
【解析】
利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】
设三件正品分别记为，一件次品记为
则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种
所以产品全是正品的概率
故选：B
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.
4、B
【解析】
由，可得两式相减可得公比的值，由可得首项的值，结合可得，，展开后利用基本不等式可得时取得最小值，结合为整数，检验即可得结果.
【详解】
因为，所以.
两式相减化简可得，
公比，
由可得，
，
则，解得，
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
取整数，均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当时，取最小值为，故选B.
本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5、C
【解析】
根据框图模拟程序运算即可.
【详解】
第一次执行程序，，，继续循环，
第二次执行程序，，，，继续循环，
第三次执行程序，，，，继续循环，
第四次执行程序，，，，继续循环，
第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.
本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.
6、A
【解析】
根据平面向量的加法运算，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得.
故选：A
本题主要考查平面向量的加法运算，属基础题.
7、D
【解析】
由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.
【详解】
根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.
由函数的图象可知:,
.
当,函数取得最大值1,所以,
，

故选D.
8、C
【解析】
根据并集的运算律可计算出集合.
【详解】
，，由并集的运算律可得，
故选：C.
本题考查集合的并集运算，解题的关键就是并集运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．
【详解】
由韦达定理得： ， ，所以 ，
由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间
所以，即
因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间
假设 ，则
即

故选D
本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有．
10、C
【解析】
根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.
【详解】
由图象可知，的最小正周期：
又
又，且
，，即，

本题正确选项：
本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.
【详解】
圆，
，圆心，半径.
圆心到直线的距离.
.
故答案为：
本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题.
12、.
【解析】
根据正切型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期.
【详解】
由正切型函数的周期公式得，
因此，函数的最小正周期为，故答案为.
本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
13、3
【解析】
根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案．
【详解】
根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，
所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，
在[50，60）年龄段抽取的人数为．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14、
【解析】
将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】
将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.
本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15
【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.
考点：三角函数的概念.
16、
【解析】
试题分析：
考点：两角和的正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）只有一项
【解析】
（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果
【详解】
解：（1）；
（2）解不等式得，
因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.
本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题
18、 (1) ,；
(2) ,证明见解析
【解析】
(1)分别令即可运算得出，，的值；
(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,
成立,再利用推导出
即可.
【详解】
(1)令有；
令有；
令有
所以，，
(2)由(1)可得,,,,故可猜想.
证明：当时, 成立；
假设当时, 成立,
且即
当时, ,即
,化简得,
,
即也满足,当时成立,
故对于任意的,有,证毕.
所以.
本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：
(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1；
(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.
19、
【解析】
根据通项前项和的关系求解即可.
【详解】
解：当时,.
当时,.
当时,上式也成立.

本题主要考查了根据前项公式求解通项公式的方法.属于基础题.
20、（I）①、②是“函数”，③不是“函数”; （II）的取值范围为;
（III），
【解析】
试题分析：（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β 函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，验证。
（I）①、②是“函数”，③不是“函数”．
（II）由题意，对任意的，，即．
因为，所以．
故．
由题意，对任意的，，即．
故实数的取值范围为．
（Ⅲ）（）对任意的
（a）若且，则，，这与在上单调递增矛盾，（舍），
（b）若且，则，这与是“函数”矛盾，（舍）．
此时，由的定义域为，故对任意的，与恰有一个属于，另一个属于．
（） 假设存在，使得，则由，故．
（a）若，则，矛盾，
（b）若，则，矛盾．
综上，对任意的，，故，即，则．
（假设，则，矛盾．故
故，．
经检验，．符合题意
点睛：此题是新定义的题目，根据已知的新概念，新信息来马上应用到题型中，根据 函数的定义即函数没有关于原点对称的部分即可，故可以从图像的角度来研究函数；第三问可以假设存在，最后推翻结论即可。
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．
【详解】
证明：（1）连结交于，连结，
由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，
又为的中点，故是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）取的中点为，连结，，，在中，，
由，知为正三角形，故，
又，，故，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.