2025年四川省乐山十校高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025年四川省乐山十校高一数学第二学期期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B．
C．128 D．或
2．已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值
C． D．
4．已知与之间的一组数据如表，若与的线性回归方程为，则的值为

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.

A． B． C． D．
6．=（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：
A．100 B．80 C．60 D．40
9．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ）
A．缩小为原来的 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
10．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．
12．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．

13．求374与238的最大公约数结果用5进制表示为_________.
14．已知等边三角形的边长为2,点P在边上,点Q在边的延长线上,若,则的最小值为______.
15．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.
16．一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
18．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：

（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在和的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的概率.
19．已知函数，.
（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；
（2）求函数的单调递增区间：
（3）定义：对于任意实数、，
设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.
20．（1）解方程：；
（2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数；
21．高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.

(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率．.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.
【详解】
设公比为，则，∴，
∴或，∴或，
即或.
故选D.
本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.
2、B
【解析】
将的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断的最大最小值得到答案.
【详解】
数列的通项公式
当时，当或是
最大值为或
最小值为或
的最大值为
故答案为B
本题考查了前n项和为的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.
3、D
【解析】
本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.
设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D
4、D
【解析】
先求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，根据表中的数据，可得，
又由回归直线方程过样本中心点，
所以，解得，
故选D.
本题主要考查了线性回归直线方程的应用，其中解答中熟记线性回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、A
【解析】
通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.
【详解】
补成正方体，如图.

∴截面为平行四边形,可得，
又 且
可得当且仅当时取等号，选A.
本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.
6、A
【解析】
试题分析：由诱导公式，故选A．
考点：诱导公式．
7、A
【解析】
分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．
详解：由题意得.
∵
∴
故选A.
点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．
8、A
【解析】
根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．
本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、A
【解析】
设原来的圆锥底面半径为，高为，可得出变化后的圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥的体积公式可得出结果.
【详解】
设原来的圆锥底面半径为，高为，该圆锥的体积为，
变化后的圆锥底面半径为，高为，
该圆锥的体积为，变化后的圆锥的体积缩小到原来的，
故选：A.
本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】
试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B．
考点：基本不等式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.
考点：恒成立问题.
12、60
【解析】
由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.
【详解】
由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，
在中，.
本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.
13、
【解析】
根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除取余法即可将进制进行转换.
【详解】
374与238的最大公约数求法如下：
，
，
，
，
所以两个数的最大公约数为34.
由除取余法可得：

所以将34化为5进制后为，
故答案为：.
本题考查了最大公约数的求法，除取余法进行进制转化的应用，属于基础题.
14、
【解析】
以为轴建立平面直角坐标系，设，用t表示，求其最小值即可得到本题答案.
【详解】
过点A作BC的垂线，垂足为O，以为轴建立平面直角坐标系.
作PM垂直BC交于点M，QH垂直y轴交于点H，CN垂直HQ交于点N.
设，则，故有

所以，，当时，取最小值.

故答案为：
本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题.
15、45
【解析】
直接利用对数的运算性质计算即可,
【详解】
.
故答案为：45.
本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
设三边按递增顺序排列为， 其中.
则， 即.解得.
由 q≥1 知 q 的取值范围是1≤q <.
设三边按递减顺序排列为，其中.
则，即.
解得.
综上所述， .

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1
【解析】
(1)由a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项得，
a22= a1·a5⇒(a1+d)2=a1· (a1+4d) ··
⇒a12+2a1d+ d2= a12+4a1d⇒d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，
从而an= a1+(n－1) d=2n－1，
则b1= a1=1，b2= a2=3，
则等比数列{bn}的公比q=3，从而bn=3n－1
(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，
则Sn= 1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①
3Sn= 1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②
①－②得， －2Sn= 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n
=1+2×－(2n－1)·3n=－2 (n－1)·3n－2 ··
则Sn=(n－1)·3n+1．
18、（1）见解析（2）
【解析】
分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在内的概率.
详解：(Ⅰ) 平均值的估计值:

中位数的估计值：
因为，
所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，
所以，.
(Ⅱ) 用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于年龄段内，记为，2人位于年龄段内，记为.
现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为，则

设2名市民年龄都在为事件A，则
,
所以.
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数. 一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.
19、（1）；（2）（3）
【解析】
（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；
（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；
（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解
【详解】
（1），
，值域为；
（2）令，解得，
所以函数的单调递增区间为，;
（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，
当，即时，，
当，即时，，
故，所以，解得，
所以实数的取值范围是
本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题
20、（1）或。
（2）、、、，或、、、
【解析】
（1）由正弦的倍角公式，化简得，得到解得或，结合正弦和余弦的性质，即可求解；
（2）设这四个数分别为，得到，且，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由题意，方程，可得，即，
解得或，所以或.
（2）由题意，设这四个数分别为，
可得，且，
解得：或，
所以这四个数为：、、、，或、、、.
本题主要考查了三角方程的求解，以及等差、等比中项的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及等差、等比数列中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
21、 (1)40,0.025,0.005 (2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，100）内的学生有6人，分数在[90，100]内的学生有2人，结合古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得至少有一名成绩在[90,100]内的概率
试题解析：（1）由题意可知，样本容量，，
.……………………………6分
（2）由题意，分数在内的有4人，分数在内的有2人，成绩是分以上（含分）的学生共6人.从而抽取的名同学中得分在的学生人数的所有可能的取值为.
，所以所求概率为
考点：频率分布直方图；茎叶图