2025届河南省郑州市第五中学数学高一下期末考试模拟试题含解析.doc

2025届河南省郑州市第五中学数学高一下期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
3．设等差数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1个黑球与恰有2个黑球 B．至少有一个红球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．至少有一个黑球与都是黑球
5．为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
6．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（　　　　）
A．1 B．2 C． D．
7．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（ ）
A． B． C． D．
8．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B． C． D．
9．下列大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
① ②与成角
③与为异面直线 ④
以上四个命题中，正确的序号是 （ ）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知在中，，则____________.
12．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
13．已知向量，则与的夹角是_________.
14．下列结论中：
①
②函数的图像关于点对称
③函数的图像的一条对称轴为
④
其中正确的结论序号为______．
15．如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为_

16．已知数列满足且，则____________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），
你会选择哪种方式领取报酬呢？
18．函数.
（1）求函数的周期和递增区间；
（2）若，求函数的值域.
19．如图，在平面四边形中，，，的面积为．

⑴求的长；
⑵若，，求的长．
20．已知数列和中，数列的前n项和为,若点在函数的图象上，点在函数的图象上．设数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求数列的最大值.
21．已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
写出变换后的函数解析式，，，结合正弦函数图象可分析得：要使函数有且仅有两个零点，只需，即可得解.
【详解】
由题，根据变换关系可得：，
函数在区间上有且仅有两个零点，
，，
根据正弦函数图象可得：，
解得：.
故选：C
此题考查函数图象的平移和伸缩变换，根据函数零点个数求参数的取值范围.
2、D
【解析】
根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.
【详解】
根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，
故选D.
至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.
3、A
【解析】
利用等差数列的基本量解决问题.
【详解】
解：设等差数列的公差为，首项为，
因为，，
故有，
解得，
，
故选A.
本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.
4、A
【解析】
从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，
故选：A．
5、B
【解析】
试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
6、B
【解析】
求得圆心到直线的距离，减去圆的半径，求得△ABP面积的最小时，三角形的高，由此求得△ABP面积的最小值.
【详解】
依题意设，故.圆的圆心为，半径为，所以圆上的点到直线的距离的最小值为（其中为圆心到直线的距离），所以△ABP面积的最小值为.
故选：B
本小题主要考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查三角形面积的最值的求法，属于基础题.
7、D
【解析】
根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.
【详解】
由题意可知，，解得，
因此，该样本的方差为，故选：D.
本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
8、B
【解析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】

解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9、C
【解析】
试题分析：因为，，，所以
。故选C。
考点：不等式的性质
点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。
10、D
【解析】

由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；  ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；
④易证，故，正确；故选D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.
【详解】
因为，所以且，
又，所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.
12、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.
13、
【解析】
利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.
【详解】
由题知，，
因为，
所以与的夹角为.
故答案为：.
本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.
14、①③④
【解析】
由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；
由正切函数的对称中心可判断②错误；
由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；
由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．
【详解】
①
，故①正确；
②函数的对称中心为，，
则图象不关于点对称，故②错误；
③函数，由为最小值，
可得图象的一条对称轴为，故③正确；
④
，故④正确．
本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．
15、
【解析】
根据题意可知，可得，依次计算，，不难发现：边长依次为，，，，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，不难发现：边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．
【详解】
根据题意可知，可得，
依次计算，，是公比为的等比数列，
正方形的面积：依次，，
边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．
所有正方形的面积的和．
故答案为：
本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．
16、
【解析】
由题得为等差数列，得，则可求
详解】
由题：为等差数列且首项为2，则，所以．
故答案为：2550
本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、见解析
【解析】
，，．
下面考察，，的大小．可以看出时，．
因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式，
时，，，
因此，选用第三种付费方式．
18、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；
（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.
【详解】
（1），
所以，函数的周期为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）当时，，则，，
因此，函数在区间上的值域为.
本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；
（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．
【详解】
⑴∵，，的面积为
∴
∴
∴由余弦定理得
∴
⑵由（1）知中，，
∴
∵,∴
又∵ ，
∴在中，由正弦定理得
即,∴
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
20、（1）（2）（3）
【解析】
（1）先根据题设知，再利用求得，验证符合，最后答案可得．
（2）由题设可知，把代入，然后用错位相减法求和；
（3）计算，判断其大于零时的范围，可得数列取最大值时的项数，进而可得最大值..
【详解】
解：（1）由已知得：，
∵当时，，
又当时，符合上式．

（2）由已知得：

①
②
②-①可得：

（3）

令，得：，
又
且，
即为最大，
故最大值为.
本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题，考查数列最大项的求解，是中档题.
21、（1）见证明；（2）见证明
【解析】
（1）由，得，两式作差可得，利用等比数列的定义，即可作出证明；
（2）由（1）可得，得到，利用裂项法求得数列的和，即可作出证明.
【详解】
（1）证明：由，得，
两式作差可得：，即，即，
又，得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可得，数列的通项公式为，
又由，
所以.
所以.
本题主要考查了等比数列的定义，以及数列“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和通项，以及合理利用数列的“裂项法”求得数列的前n项和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.