2025年湖南省邵阳市邵东创新实验学校高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年湖南省邵阳市邵东创新实验学校高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于5，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．
3．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知函数，点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
6．设，则比多了（ ）项
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
8．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．若，，则( )
A． B． C． D．
10．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等比数列中，，，则________.
12．数列满足，则数列的前6项和为_______．
13．甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.
14．在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．
15．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．

16．函数的最小正周期为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.
（1）设年利润为（万元），试求与的关系式；
（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润.
18．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
19．某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示（试卷满分为100分）。
（1）班

（2）班

7
6
8

8
6
7
2
3

5
2
8
5
9

2
9
3

（1）试计算这12份成绩的中位数；
（2）用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
21．已知两点，.
（1）求直线AB的方程；
（2）直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算．
【详解】

如图所示，,，选B.
本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题．
2、A
【解析】
根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.
【详解】
由三视图可知，几何体为三棱锥
三棱锥体积为：
本题正确选项：
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.
3、C
【解析】
根据框图模拟程序运算即可.
【详解】
第一次执行程序，，，继续循环，
第二次执行程序，，，，继续循环，
第三次执行程序，，，，继续循环，
第四次执行程序，，，，继续循环，
第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.
本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.
4、B
【解析】
△OAB为锐角三角形等价于, 再运算即可得解.
【详解】
解：由题意可得, ,
由△OAB为锐角三角形，
则,即，解得：，
即的取值范围为，
故选：B.
本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.
5、B
【解析】
试题分析：由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．
考点：余弦定理；三角形的面积公式．
6、C
【解析】
可知中共有项，然后将中的项数减去中的项数即可得出答案.
【详解】
，则中共有项，所以，比多了的项数为.
故选:C.
本题考查数学归纳法的应用，解题的关键就是计算出等式中的项数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、D
【解析】
试题分析：将函数的图象向右平移,
可得，故选D．
考点：图象的平移．
8、D
【解析】
根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．
【详解】
根据题意，直线分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，
②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．
故直线的方程为或.
故选：D．
本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．
9、B
【解析】
利用诱导公式得到的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案.
【详解】
∵，又，
∴.
故选：B.
本题考查诱导公式、同角三角函数的平方关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意符号问题.
10、A
【解析】
根据题意可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，，则.
故选A.
本题考查任意角的三角函数的基本计算，难度较易. 若终边与单位圆交于点，则.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据等比数列中，，得到公比，再写出和，从而得到.
详解】
因为为等比数列，，，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题.
12、84
【解析】
根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.
【详解】
因为，
所以.
本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13、
【解析】
根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.
【详解】
假设经过小时两船相距最近，甲、乙分别行至，，
如图所示，可知，，，
．
当小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为．

本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.
14、
【解析】
试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，，圆标准方程为，，，于是圆心直线的距离不大于，
，解得.
考点：直线和圆的位置关系.
15、
【解析】
利用斜二测直观图的画图规则，可得为一个直角三角形，且，得，从而得到边上的中线的实际长度为.
【详解】
利用斜二测直观图的画图规则，平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变；
平行于轴或在轴上的线段，长度减半，
利用逆向原则，所以为一个直角三角形，且，
所以，所以边上的中线的实际长度为.

本题考查斜二测画法的规则，考查基本识图、作图能力.
16、
【解析】
将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.
【详解】
，.
本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．
【解析】
（1）由销售收入减去成本可得利润；
（2）分段求出的最大值，然后比较可得．
【详解】
（1）由题意；
即；
（2）时，，时，，
当时，在是递增，在上递减，
时，
综上，产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．
本题考查函数模型的应用，根据所给函数模型求出函数解析式，然后由分段函数性质分段求出最大值，比较后得出函数 最大值．考查学生的应用能力．
18、（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【解析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】
（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
19、（1）80；（2）两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些．
【解析】
（1）将成绩按照从小到大顺序排序，根据中位数定义可计算得到结果；（2）根据茎叶图数据计算出两个班的数学成绩平均数，根据方差计算公式可求得样本方差；由，可得到结论.
【详解】
（1）这份成绩按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，，，，，
中位数为：
（2）计算（1）班平均数为：
方差为：
（2）班平均数为：
方差为：
由，知：两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些
本题考查根据茎叶图计算数据的中位数、平均数及方差、利用方差比较数据的稳定性的知识；关键是能够熟练掌握中位数、平均数及方差的计算公式，属于基础题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；
（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域．

【详解】
(1)

，
；
(2) ，
∴，
∴，
的值域为.
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据、两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）根据的倾斜角和过点，得到的方程，再与直线联立，得到交点坐标.
【详解】
（1）因为点，，
所以，
所以方程为，
整理得；
（2）因为直线l经过，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以的方程为，整理得，
所以直线与直线的交点为，
解得，
所以交点坐标为.
本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.