广东省广州仲元中学2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

广东省广州仲元中学2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在等差数列中，的等差中项为，的等差中项为,则数列的通项公式（ ）
A． B．-1 C．+1 D．-3
3．若，，且与夹角为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
5．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，若、、三点共线，则为（ ）
A． B． C． D．2
7．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）

A． B． C． D．
8．已知菱形的边长为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列中，首项，公差，前项和，则使有最小值的_________.
12．已知数列的前项和为，，则_．
13．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．
14．函数在区间上的值域为______.
15．已知向量，，且，则______．
16．已知数列的前项和为，，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线
（1）若直线过点，且.求直线的方程.
（2）若直线过点A(2,0)，且，求直线的方程及直线,,轴围成的三角形的面积.
18．已知方程，.
（1）若是它的一个根，求的值；
（2）若，求满足方程的所有虚数的和.
19．已知等比数列为递增数列，，，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．已知是等差数列的前项和，且，.
（1）求通项公式；
（2）若，求正整数的值.
21．从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人
（1）列出所有可能的结果；
（2）若A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，求选出的2人中不全为男性的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.
【详解】
由题意，圆的圆心坐标，
设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，
满足，解得，
即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，
所以所求圆的方程为，故选A.
本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2、D
【解析】
试题分析：由于数列是等差数列，所以的等差中项是，故有，又有的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．
考点：等差数列．
3、B
【解析】
由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．
【详解】
由题意若，，且与夹角为，可得，
.
故选：B．
本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.
4、A
【解析】
试题分析：连结，异面直线所成角为，

设,在中

考点：异面直线所成角
5、D
【解析】
运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除.
【详解】
A. ,由所以不存在这样的三角形.
B. ,由且所以只有一个角B
C. 中，同理也只有一个三角形.
D. 中此时，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形.
所以选择D
在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，记得一定要去判断是否会出现两个角.
6、C
【解析】
由平面向量中的三点共线问题可得：，由基本定理及线性运算可得：即得解.
【详解】
因为，若，，三点共线
则，解得，
即
即
即
即
故选：
本题考查平面向量基本定理和共线定理，属于基础题.
7、B
【解析】
假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果.
【详解】
假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.
设，得，对比得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，，故选：B.
本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
8、D
【解析】
由菱形可直接得出所求两向量的模长及夹角，直接利用向量数量积公式即可.
【详解】

由菱形的性质可以得出：
所以选择D
直接考查向量数量积公式，属于简单题
9、A
【解析】
利用数量积运算可将不等式化简为，根据恒成立条件可得不等式组，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果.
【详解】

当时，恒成立，则
当时，即
，，解得：，
当时，即
，，解得：，
在时恒成立可得：
本题正确选项：
本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.
10、B
【解析】
试题分析：由诱导公式得，故选B．
考点：诱导公式．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
求出，然后利用，求出的取值范围，即可得出使得有最小值的的值.
【详解】
，令，解得.
因此，当或时，取得最小值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和的最小值求解，可以利用二次函数性质求前项和的最小值，也可以转化为数列所有非正数项相加，考查计算能力，属于中等题.
12、
【解析】
分析：由，当时，当时，相减可得，则，由此可以求出数列的通项公式
详解：当时，
当时由可得
二式相减可得：

又
则数列是公比为的等比数列

点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到，则用即可算出，需要注意讨论的情况。
13、6
【解析】
先确定船的方向，再求出船的速度和时间.
【详解】

因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，
所以船的速度为km/h,
所以所用时间是.
故答案为6
本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
14、
【解析】
由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．
【详解】
，
，则，
.
故答案为：．
本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．
15、
【解析】
根据的坐标表示，即可得出，解出即可．
【详解】
，，．
本题主要考查平行向量的坐标关系应用．
16、
【解析】
先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.
【详解】
当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为.
本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.

三解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ； (2) ；
【解析】
（1）根据已知求得的斜率，由点斜式求出直线的方程.（2）根据已知求得的斜率，由点斜式写出直线的方程，联立的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积.
【详解】
解：（1）∵∥，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为，即
（2）∵，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为即
由得与的交点为
∴直线,,轴围成的三角形的面积是
本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.
18、（1）；（2）190.
【解析】
（1）先设出的代数形式，把代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；
（2）由方程由虚根的条件，求出的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．
【详解】
解：（1）设，是的一个根，
，，
，解得，，，
（2）方程有虚根，，解得，
，，2，，
又虚根是成对出现的，所有的虚根之和为．
本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）利用等比数列的下标性质，可以由，得到，通过解方程组，结合已知可以求出的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列的通项公式；
（2）利用错位相消法可以求出数列的前项和．
【详解】
解（1）∵是等比数列
∴
又∵
由是递增数列解得，
且公比
∴

（2）

，两式相减得：

∴
本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.
20、（1）（2）41
【解析】
（1）根据通项公式先求出公差，再求即可；
（2）先表示出，求出的具体值，根据求即可
【详解】
（1）由，，可得，
则
（2），，则，解得
本题考查等差数列通项公式和前项和公式的用法，属于基础题
21、（1）见解析（2）0.7
【解析】
（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人，利用列举法能求出所有可能的结果．
（2）、、三人为男性，、两人为女性，利用列举法求出选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，由此能求出选出的2人中不全为男性的概率．
【详解】
（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人．
所有可能的结果有10种，分别为：
，，，，，，，，，．
（2）、、三人为男性，、两人为女性，
选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，分别为：
，，，，，，．
选出的2人中不全为男性的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．