广东省广州市番禺区禺山中学2024-2025学年高一下数学期末经典模拟试题含解析.doc

广东省广州市番禺区禺山中学2024-2025学年高一下数学期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )

A．30辆 B．1700辆 C．170辆 D．300辆
3．在等差数列中，若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．在ΔABC中,若 ,则=（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
5．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为（）
A． B． C． D．
6．设是等差数列的前项和,若,则
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
8．在平行四边形中，,,则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
10．设向量 ， ，则是 的
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列的公差为，且，其前项和为，若满足，，成等比数列，且，则______，______.
12．在梯形中, ，设,,则__________(用向量表示).
13．已知数列的前项和为，，，则__________．
14．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

15．已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.
16．已知、的取值如表所示：

0
1
3
4

2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，与线性相关，且，则______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，当为何值时：
（1）与垂直；
（2）与平行.
18．已知数列的前项和，且；
（1）求它的通项.
（2）若，求数列的前项和.
19．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．

（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；
（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点， 已知，，，求：

（1）直线与平面所成角的正切值；
（2）三棱锥的体积.
21．已知公差不为0的等差数列满足，是，的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:

因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小

故选:D
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
2、B
【解析】
由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.
【详解】
由频率分布直方图得：
在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为
，
估计辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
（辆），故选B.
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
3、C
【解析】
运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．
【详解】
由题意知，所以.
故选C.
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．
4、C
【解析】
向量的点乘，
【详解】
,选C.
向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角
5、C
【解析】
根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.
【详解】
由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，
如图所示，
则,
三棱锥的外接球直径为，即半径为，
外接球的表面积为，故选C.

本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.
6、A
【解析】
，，选A.
7、C
【解析】
由流程图循环4次，输出，即可得出结果.．
【详解】
初始值，，是，
第一次循环：，，是，
第二次循环：，，是，
第三次循环：，，是，
第四次循环:S，，否，输出．
故选C．
本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．
8、A
【解析】
先求,再求,即可求D坐标
【详解】
，∴，则D(6,1)
故选A
本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题
9、D
【解析】
根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。
【详解】
根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，
且其半径，
则其标准方程为，变形可得其一般方程是，
故选．
本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。
10、C
【解析】
利用向量共线的性质求得，由充分条件与必要条件的定义可得结论.
【详解】
因为向量 ， ，
所以，
即可以得到，不能推出，
是“”的必要不充分条件，故选C.
本题主要考查向量共线的性质、充分条件与必要条件的定义，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】
由，可求出，再由，，成等比数列，可建立关系式，求出，进而求出即可.
【详解】
由，可知，即，
又，，成等比数列，所以，则，即，解得或，
因为，所以，，
所以.
故答案为：2；.
本题考查等比数列的性质，考查等差数列前项和的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据向量减法运算得结果.
【详解】
利用向量的三角形法则，可得， ，
又，，则，

.
故答案为.
本题考查向量表示，考查基本化解能力
13、
【解析】
先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.
【详解】
当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为.
本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.
15、
【解析】
试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．
考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．
16、
【解析】
根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.
【详解】
根据表中数据得：，
又由回归方程知回归方程的斜率为
截距
本题正确结果：
本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
根据向量坐标运算计算得到与的坐标
（1）由垂直关系得到数量积为，可构造方程求得；
（2）由向量平行的坐标表示可构造方程求得.
【详解】
，
（1）由与垂直得：，解得：
（2）由与平行得：，解得：
本题考查平面向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直可得；两向量平行可得.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）由，
当时，；
当时，，
当也成立，
所以则通项；
（2）由（1）可得，-
，
，
两式相减得

所以数列的前项和为.
本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.
19、（1）
（2）
【解析】
（1）根据示意图，计算出第阶段、第阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；
（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第阶段“黄金数学草”的高度的计算.
【详解】
（1）因为第一阶段： ，
所以第阶段生长：，第阶段的生长：，
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；
（2）设第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，则第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，第阶段“黄金数学草”的高度为，
所以，
所以数列按奇偶性分别成公比为等比数列，
所以
.
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：.
本题考查等比数列以及等比数列的前项和的实际应用，难度较难.处理数列的实际背景问题，第一步要能从实际背景中分离出数列的模型，然后根据给定的条件处理对应的数列计算问题，这对分析问题的能力要求很高.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）要求直线与平面所成角的正切值，先要找到直线在平面上的射影，即在直线上找一点作平面的垂线，结合已知与图形，转化为证明平面再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以为底，与的中点的连线为高计算更为快速，从而转化为证明平面再求解.
【详解】
（1）平面，平面
又，，平面，平面
所以平面，所以为直线与平面所成角。
易证是一个直角三角形，
所以.
（2）如图，设的中点为，则，
平面，平面 , 又，
，, 又，，，
所以平面， 所以为三棱锥的高.
因此可求

本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为 ，则

解得 或（舍去），
.
（2）,

.
本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题．