2025届贵州省六盘水市盘县第四中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025届贵州省六盘水市盘县第四中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，则的值为()
A．6 B．－6 C． D．
3．在0°到360°范围内，与角 －130°终边相同的角是（　）
A．50° B．130° C．170° D．230°
4．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．－ B． C． D．
6．已知数列满足，则（ ）
A．10 B．20 C．100 D．200
7．直线倾斜角的范围是（ ）
A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]
8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A． B． C． D．
9．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
10．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递增
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列满足，则__________.
12．一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 .
13．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________.
14．如图,货轮在海上以的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B观察灯塔A的方位角是120°,航行半小时后到达C点,观察灯塔A的方位角是75°,则货轮到达C点时与灯塔A的距离为______ n mile

15．已知是等比数列，且，，那么________________．
16．设数列满足,,,，______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角；
（2）若，求.
18．已知集合，集合.
（1）求；
（2）若不等式的解集为，求不等式的解集.
19．如下图，长方体中，，，点是棱上一点.

（1）当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积.
（2）当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论.
20．已知向量=,=,=,为坐标原点.
（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；
（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.
21．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.

(1)试用表示的面积；
(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案.
详解】
因为点在角的终边上，所以.
故选：B
本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.
2、A
【解析】
两向量平行，內积等于外积。
【详解】
，所以选A.
本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题。
3、D
【解析】
先表示与角 －130°终边相同的角，再在0°到360°范围内确定具体角，最后作选择.
【详解】
因为与角 －130°终边相同的角为，
所以，
因此选D.
本题考查终边相同的角，考查基本分析判断能力，属基本题.
4、C
【解析】
设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.
详解】
设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：，
此时，即：
同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：
此时
所以
故选C
本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．
5、B
【解析】
首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．
【详解】
因为
所以
所以，选B.
本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．
6、C
【解析】
由题可得数列是以为首相为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出
【详解】
因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
，所以，则
本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题．
7、C
【解析】
试题分析：根据直线倾斜角的定义判断即可．
解：直线倾斜角的范围是：[0，π），
故选C．
8、C
【解析】
本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】

如图所示，直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为，则，解得.
所以内切圆的面积为，
所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．
9、B
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解

画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10、A
【解析】
函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：
，单调递增区间：
，
单调递减区间：

，由此可见，当时，函数在上单调递增，故本题选A.
【详解】
本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
【详解】
因为所以
又
所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
所以
所以
故填
本题考查等差数列，属于基础题。
12、5
【解析】
设一部门抽取的员工人数为x,则.
13、
【解析】
圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带入数据即可．
【详解】
因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.
此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．
14、
【解析】
通过方位角定义，求出，，利用正弦定理即可得到答案.
【详解】
根据题意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案为.
本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.
15、
【解析】
先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果.
【详解】
∵是等比数列，且，，∴，
即，则．
本题考查等比数列性质，考查基本求解能力.
16、8073
【解析】
对分奇偶讨论求解即可
【详解】
当为偶数时，
当为奇数时，
故当为奇数时，
故
故答案为8073
本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.
【详解】
解：（1）由正弦定理得：，
又，，得
.
（2）由正弦定理得：，
又由余弦定理：，
代入，可得.
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（1）
（2）
【解析】
（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合，再求交集即可；
（2）由待定系数法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.
【详解】
解：（1）因为集合，
集合，
即；
（2）由不等式的解集为，
则不等式等价于，即，
即，
即不等式等价于，即，
解得或，
故不等式的解集为.
本题考查了集合的运算，重点考查了一元二次不等式的解法，属基础题.
19、（1）；（2）详见解析.
【解析】（ I）三棱锥的体积不变，

.
（ II）当点在上移动时，始终有，
证明：连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴．
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）利用向量的运算法则求出，，再利用向量垂直的充要条件列出方程求出m；
（2）由题意得A，B，C三点不共线，则与不共线，列出关于m的不等式即可．
【详解】
（1）因为=，=，=，
所以，，
若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．
（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．
本题考查向量垂直、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、三点不共线等问题，属于基础题．
21、 (1) ，.
(2) 时, 达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.
【解析】
（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.
（2）令，则，根据可求最大值.
【详解】
(1)设为,，
，，，
(2)令,
只需考虑取到最大值的情况,即为，
当,即时, 达到最大，
此时八角形所覆盖面积为16+4
最大值为.
如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.