2025年江苏省淮安市马坝高级中学数学高一第二学期期末预测试题含解析.doc

2025年江苏省淮安市马坝高级中学数学高一第二学期期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．等差数列中，已知，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
3．已知向量、满足，且，则为（ ）
A． B．6 C．3 D．
4．已知等比数列中，，，则（ ）
A．10 B．7 C．4 D．12
5．已知等差数列中，，，则的值为（ ）
A．51 B．34 C．64 D．512
6．在中，，，，则的面积是（ ）．
A． B． C．或 D．或
7．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，则（ ）
A． B． C． D．
9．把十进制数化为二进制数为
A． B．
C． D．
10．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的通项公式,则_______.
12．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为.若，，则用“三斜公式”求得的面积为______.
13．已知角的终边经过点，则______．
14．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.
15．设为正实数.若存在、，使得，则的取值范围是______.
16．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知：三点,其中.
（1）若三点在同一条直线上，求的值；
（2）当时，求．
18．中，角的对边分别为，且.
（I）求角的大小；
（II）若，求的最小值.
19．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;
(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
20．已知直线：
（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点；
（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程．
21．2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.

（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）从，分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于分数段的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.
【详解】
因为为等差数列，所以，由，,故选B.
本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可得,属于简单题.
2、C
【解析】
根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.
【详解】
如图：

因为，
所以，
故选C.
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.
3、A
【解析】
先由可得,即可求得,再对平方处理,进而求解
【详解】
因为,所以,则,
所以,
则,
故选:A
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
4、C
【解析】
由等比数列性质可知进而根据对数的运算法则计算即可
【详解】
由题,因为等比数列,所以,
则,
故选:C
本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算
5、A
【解析】
根据等差数列性质;若，则即可。
【详解】
因为为等差数列，所以，，所以选择A
本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中若，则，属于基础题。
6、C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
7、D
【解析】
由共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】
向量，，且，，解得.
故选：D.
本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，解题时要熟悉共线向量坐标之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
首先化简，可得到大小关系，再根据，即可得到的大小关系.
【详解】
，
，.
所以.
故选：C
本题主要考查指数，对数的比较大小，熟练掌握指数和对数函数的性质为解题的关键，属于简单题.
9、C
【解析】
选C.
10、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可．
【详解】
令，
则所求式子为的前9项和．
其中，，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
，
故答案为1．
本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．
12、
【解析】
先由，根据余弦定理，求出，再由，结合余弦定理，求出，再由题意即可得出结果.
【详解】
因为，所以，因此；
又，由余弦定理可得，
所以，
因此.
故答案为
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
13、
【解析】
由题意，则.
14、
【解析】
先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．
【详解】
由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及 型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．
15、
【解析】
由. 而，故已知条件等价于：存在整数、，使得 ①，再对分类讨论求出的范围.
【详解】
由.
而，故已知条件等价于：存在整数使得
. ①
当时，区间的长度不小于，故必存在、满足式①.
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情形：
（1），此时，，且，无解；
（2），此时，；
（3），此时，.
综上，并注意到也满足条件，知.
故答案为：
本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1）（2）
【解析】
（1）利用共线向量的特点求解m；
（2）先利用求解m，再求解.
【详解】
（1）依题有：，
共线

.
（2）由得：
又

本题主要考查平面向量的应用，利用共线向量可以证明三点共线问题，利用向量可以解决长度问题.
18、（I）；（II）最小值为2.
【解析】
（I）,化简即得C的值；（II）
【详解】
（I）因为，
所以；
（II）由余弦定理可得，，因为，所以，
当且仅当的最小值为2.
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19、 (1) ,(2) ,(3) 至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【解析】
(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和
(2) 是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可
(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论
【详解】
(1)由题意得 是等差数列，
所以
由题意得
所以
所以是首项为250，公比为的等比数列
所以

所以
(2) 是数列的前项和
所以
是数列的前项和减去600，所以

(3)

易得此函数当时单调递增
且时
时
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）直线方程可整理为：，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；
（2）由题意可得的范围，分别令，得到相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．
【详解】
（1）直线方程可整理为：，
联立，解得，
直线恒过定点.
（2）由题意可知直线的斜率，

令，得：，
令，得：，
，
分母，
当时，取最大值
此时为最小值.
故直线的方程为：
即为：
本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题．
21、（1）中位数为80.平均数为（2）
【解析】
（1）由频率分布直方图可知，利用中位数和平均数的计算公式，即可求解.
（2）由频率分布直方图可知，分别求得，分数段中答卷数，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为，后2个小矩形的面积和为，所以估计中位数为80.
估计平均数为.
（2）由频率分布直方图可知，分数段中答卷数分别为12，8，
抽取比例为，所以，分数段中抽取的答卷数分别为3，2.
记中对应的3为党员为，，，中对应的2为党员为，.
则从中选出对应的3位党员，共有不同的选法总数10种：，，，，，，，，，.
易知有2位来自于分数段的有3种，故所求概率为.
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率直方图中中位数和平均数的计算方法，以及准确利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.