上海市复旦大学附属中学-浦分2024-2025学年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

上海市复旦大学附属中学-浦分2024-2025学年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
2．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为第二象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一象限
C．第二象限 D．第二或第三象限
5．已知，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，则与夹角的大小为( )
A． B． C． D．
7．已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若点共线,则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．两圆和的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
10．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若（），则_______（结果用反三角函数值表示）．
12．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．
13．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．
14．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．
15．已知数列的前n项和，则________.
16．空间两点，间的距离为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,, ,其频率分布直方图如图所示.

(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;
(2)求月均用电量的中位数;
(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?
18．已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；
（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．
①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
20．求值：（1）一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数；
（2）已知，计算.
21．已知是递增的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前n项和为，已知，求数列的前n项和．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可.
【详解】
由向量，，
则，，
向量在向量方向上的投影为.
故选：B
本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义，属于基础题.
2、D
【解析】
先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.
【详解】
如图所示：

在中，利用正弦定理：

当时，有最小值为
当时，有最大值为 （不能取等号）
的取值范围是
故答案选D

本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.
3、A
【解析】
，向左平移个单位得到函数=，故
4、A
【解析】
用不等式表示第二象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．
【详解】
由已知为第二象限角，则
则
当时
，此时在第一象限.
当时,
，此时在第三象限.
故选: A
本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限.
5、A
【解析】
在方向上的投影为，选A.
6、D
【解析】
。
分别求出，，，利用即可得出答案.
【详解】
设与的夹角为

故选：D
本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.
7、B
【解析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，所以
故选：B.
本题考查利用两角差的正切公式求值，解答的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.
本题主要考查三点共线的条件，难度较小.
9、B
【解析】
由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.
【详解】
由圆的方程可知，两圆圆心分别为：和；半径分别为：，
则圆心距：
两圆位置关系为：相交
本题正确选项：
本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.
10、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.
故答案为：
本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.
12、
【解析】
由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．
点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．
13、
【解析】
∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，
∴，
所以必有，，利用累加法可得：，故，得，
故答案为.
点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.
14、4π
【解析】
利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.
【详解】
由，解得．．解得．
，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．
故答案为：4π．
本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.
15、
【解析】
先利用求出，在利用裂项求和即可.
【详解】
解：当时，，
当时，，
综上，，，

，
故答案为：.
本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.
16、
【解析】
根据空间中两点间的距离公式即可得到答案
【详解】
由空间中两点间的距离公式可得; ;
故距离为3
本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)200 (2)224 (3)4户
【解析】
(1)因为,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;
(2)因为,设中位数为,,即可求得答案;
(3)月均用电量为,,,的频率分别为, 即可求得答案.
【详解】
(1),
得.
月均用电量在的频率为.
设样本容量为N,则,
.
(2),
月均用电量的中位数在内.
设中位数为,
,
解得,即中位数为.
(3)月均用电量为,,,的频率分别为
应从月均用电量在的用户中抽取(户)
本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
18、 (1) ；(2)
【解析】
（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；
（2）由（1）得，利用裂项相消可求.
【详解】
（1）由得：，即，且
数列是以为首项，为公比的等比数列
数列的通项公式为：
（2）由（1）得：

关系式可构造为，中档题。
19、（Ⅰ）（Ⅱ）① 当为偶数时，，
当为奇数时，；②
解析】
试题分析：（Ⅰ）由新定义知：前项之和为两等差数列之和，一个是首项为3，公差为8的等差数列前8项和，另一个是首项为17，公差为8的等差数列前7项和，所以前项之和（Ⅱ）①根据新定义知：证明目标为，
，相减得，当为奇数时，依次构成首项为a，公差为2的等差数列,, 当为偶数时，依次构成首项为2-a，公差为2的等差数列,②先求和：当为偶数时，；当为奇数时，故当时，，，， 由，则，解得．
试题解析：（Ⅰ）易得数列
前项之和
（Ⅱ）①（）（A）
（B）
（B）（A）得（）．
所以，为公差为2的“隔项等差”数列．
当为偶数时，，
当为奇数时，；
②当为偶数时，；
当为奇数时
．
故当时，，，，
由，则，解得．
所以存在实数，使得成等比数列（）
考点：新定义，等差数列通项及求和
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）设出扇形的半径为，弧长为，利用面积、周长的值，得到关于的方程；
（2）由已知条件得到，再代入所求的式子进行约分求值.
【详解】
（1）设扇形的半径为，弧长为，则解得：
所以圆心角的弧度数.
（2）因为，所以，
所以.
若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）{an}是递增的等比数列，公比设为q，由等比数列的中项性质，结合等比数列的通项公式解方程可得所求；
（2）运用等差数列的求和公式和等差数列中项性质，求得bn=2n+1，再由数列的错位相减法求和，化简可得所求和．
【详解】
（1）∵是递增的等比数列，
∴，，
又，∴，是的两根，
∴，，∴，
.
（2）∵，
∴由已知得，

∴
∴，
化简可得.
本题考查数列的通项和求和，等差等比数列的通项通常是列方程组解首项及公差（比），数列求和常见的方法有：裂项相消和错位相减法，考查计算能力，属于中等题.