四川省绵阳市三台县芦溪中学2025年高一下数学期末教学质量检测试题含解析.doc

四川省绵阳市三台县芦溪中学2025年高一下数学期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是( )

A． B． C． D．
2．同时具有性质：“① 最小正周期是；② 图象关于直线对称；③ 在上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．若且，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
6．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
7．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．5 D．1
9．函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）

A． B． C． D．
10．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　.
12．设，若用含的形式表示，则________.
13．函数的定义域为____________.
14．已知是等比数列，，则公比______.
15．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
16．数列中，，则____________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知非零数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若关于的不等式有解，求整数的最小值；
（3）在数列中，是否存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
18．已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知.
（1）当时，求数列前n项和；（用和n表示）；
（2）求.
20．在平面直角坐标系中，直线，.
(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;
(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.
21．已知等比数列的公比，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.
【详解】
设，，，，

，，，
，，，
的最大值是.故选A.
本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.
2、D
【解析】
利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．
【详解】
A,对于y＝cos（），它的周期为4π，故不满足条件．
B,对于y＝sin（2x），在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．
C,对于y＝cos（2x），当x时，函数y，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x对称，故不满足条件．
D,对于y＝sin（2x），它的周期为π，当x时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x对称；且在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．
故选：D．
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．
3、D
【解析】
求出分段函数的解析式，由此确定函数图象.
【详解】
由于，根据函数解析式可知，D选项符合.
故选：D
本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.
4、B
【解析】
试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．
【方法点晴
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．
5、D
【解析】
利用不等式的性质对四个选项逐一判断.
【详解】
选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；
选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.
本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.
6、B
【解析】
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
7、D
【解析】
令正方形对角线与的交点为，如图所示：

由正方形中，,
则，那么,
将正方形沿对角线折起，如图所示：

则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为，
故外接球的表面积为.
故选：D
本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题.
8、D
【解析】
根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9、D
【解析】
函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.
10、C
【解析】
将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.
【详解】
解：，，
由正弦定理得：

故选C.
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.
【详解】
因为区间总长度为，
符合条件的区间长度为，
所以，由几何概型概率公式可得，
在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，
故答案为：.
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
12、
【解析】
两边取以5为底的对数，可得，化简可得，根据对数运算即可求出结果.
【详解】
因为
所以两边取以5为底的对数，可得，
即，
所以，
，
故填.
本题主要考查了对数的运算法则，属于中档题.
13、
【解析】
先将和分别解出来，然后求交集即可
【详解】
要使，则有且
由得
由得
因为
所以原函数的定义域为
故答案为：
解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像
14、
【解析】
利用等比数列的性质可求.
【详解】
设等比数列的公比为，则，故.
故答案为：
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） （为公比）；
（3）公比时，则有，其中为常数且；
（4） 为等比数列（ ）且公比为.
15、
【解析】
设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.
【详解】
由正弦定理可得，的外接圆直径为，，
设三棱锥的外接球半径为，平面，，
因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为.
本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.
16、1
【解析】
利用极限运算法则求解即可
【详解】

故答案为：1
本题考查数列的极限，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.
【解析】
（1）由条件可得，即，再由等比数列的定义即可得证；
（2）由等比数列的通项公式求得，，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；
（3）假设存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得，的方程，解方程可得所求值.
【详解】
解：（1）证明：由，
得，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，，则
故，
设，
则
，
所以单调递增，
则，于是，即 ，
故整数的最小值为；
（3）由上面得，，
设，
要使得成等差数列，即，
即，
得，
，
，
故为偶数，为奇数，
或.
本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目.
18、（1），，；（2），.
【解析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】
（1）数列公比为，则∵，∴，
∴，
的公差为，首项是，
则，，
∴，解得．
∴．
（2），数列的前项和记为，
，①
，②
①－②得：
，
∴．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
19、（1）时，时，；（2）；
【解析】
（1）当时，求出，再利用错位相减法，求出的前项和；（2）求出的表达式，对，的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.
【详解】
（1）当时，可得，
当时，得到，
所以，
当时，
所以，
两边同乘得
上式减去下式得
，
所以

所以综上所述，时，；时，.
（2）由（1）可知当时，
则；
当时，

则
若，
若，
所以综上所述.
本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
20、（1）过定点，定点坐标为；（2）或.
【解析】
(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围.
【详解】
（1）假设直线过定点，
则，即
关于恒成立，
∴，∴，
所以直线过定点，定点坐标为
（2）已知点,，设点，
则，，
∵,∴,∴
所以点的轨迹方程为圆，
又点在直线：上，
所以直线：与圆有公共点，
设圆心到直线的距离为，则，
解得实数的范围为或.
本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
21、 (1) ．(2)
【解析】
（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.
【详解】
解：（1）由，得，则
∴，
∴数列的通项公式为．
（2）由，
∴，①
，②
①②，得

，
∴．
本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.